En su libro Ecuaciones diferenciales estocásticas - Una introducción con aplicaciones Øksendal da la siguiente definición de proceso estocástico:
Un proceso estocástico es una colletcion parametrizada de variables aleatorias $$\{ X_t\}_{t\in T} $$ definido en un espacio de probabilidad $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ y asumiendo valores en $\mathbb{R}^n$ .
A continuación, señala que puede ser útil pensar en $t$ como el tiempo y cada $\omega \in \Omega$ como un experimento individual, tal que $X_t(\omega)$ representaría el resultado en el momento $t$ del experimento $\omega$ . También señala que un camino de un proceso estocástico se obtiene mediante el mapeo $t \mapsto X_t(\omega)$ para un fijo $\omega \in \Omega$ .
Esto parece indicar que el espacio de resultados $\Omega$ no varía con el tiempo, y que el conjunto de resultados posibles para cada experimento, parametrizado por $t$ no depende de $t$ . Sin embargo, no me queda claro cómo este punto de vista representaría tales experimentos en este contexto. Tomemos, por ejemplo, el ejemplo de un paseo aleatorio. En cada momento $t \in \mathbb{N}^+$ se lanza una moneda. Si el resultado es $H$ se da un paso verticalmente hacia arriba, si $T$ un paso hacia abajo.
Si cada $X_t$ representaría el paso dado en el momento $t$ no sería el resultado del experimento (el lanzamiento de la moneda en el momento $t$ ) sea $\omega \in \{ H, T, \emptyset \} = \Omega$ ? Pero entonces, arreglar $\omega' \in \Omega$ para cada tiempo $t$ la variable $X_t(t)$ tendría el mismo resultado, por lo que esta no puede ser la interpretación correcta.
La pregunta es:
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¿Qué sería cada experimento en este contexto, y es entonces cierto que $\Omega = \{H, T, \emptyset\}$ ?
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En este contexto, ¿cómo sería la posición acumulada del paseo aleatorio en el tiempo $t$ ¿se formulará?
