Hay un trivial semidirect producto de dos grupos isomorfos a su producto directo?

Question

Supongamos $N$ $H$ son grupos e $\phi: H \rightarrow \operatorname{Aut}(N)$ es un homomorphism. Sabemos que $N \rtimes_{\phi} H = N \times H$ si y sólo si $\phi$ es trivial, pero esta pregunta es un poco diferente.

Qué $N \rtimes_{\phi} H \cong N \times H$ implica que $\phi$ es trivial?

Mi primera idea es que no debe ser un contraejemplo, pero no he sido capaz de averiguar nada.

Ya no trivial semidirect productos son siempre nonabelian, definitivamente, necesitamos al menos uno de $N$ o $H$ nonabelian. Creo que encontrar un contraejemplo a la declaración también sería equivalente a la búsqueda de $G$ tal que $G = NH = N'H'$ donde

• $N \cap H = N' \cap H' = 1$

• $N \cong N'$ $H \cong H'$

• $N, N', H' \trianglelefteq G$ pero $H$ no es normal en $G$

Answer 1

En general, si ${\rm Im}(\phi) \le {\rm Inn}(N)$$N \rtimes_{\phi} H \cong N \times H$. Así que el más pequeño ejemplo es con $N=S_3$$|H|=2$.

Añadido posterior: por desgracia, lo que escribí no es cierto en general! Por ejemplo, supongamos $G$ ser un producto central de la cuádrupla grupo $Q_8$ de orden 8 (el grupo diedro de la orden de 8 de trabajo, también) con un grupo cíclico $C_4$ de orden 4, que unía la central subgrupos de orden 2 de los dos grupos. Por lo $|G|=16$. A continuación, el producto $xy$ $x \in Q_8$ $y \in C_4$ $|x|=|y|=4$ es de orden 2, y por lo $G$ es un semidirect producto $Q_8 \rtimes C_2$ cuando la automorphism inducidos por la acción es interior, pero no es isomorfo a $Q_8 \times C_2$.

¿Qué se puede decir, es que si ${\rm Im}(\phi) \le {\rm Inn}(N)$$G = N \rtimes_{\phi} H$,$G=NC_G(N)$, por lo que, si $Z(N)=1$ (que es el caso en el ejemplo de arriba con $N=S_3$), luego tenemos a $G \cong N \times H$.

Answer 2

Considere la posibilidad de $N=A^{\mathbb N}\times B^{\mathbb N}\times C^{\mathbb N}$ $H=B$ donde $C=A\rtimes_\phi B$. Deje $\Phi(h)(a_0, a_1, \ldots; b_0, b_1, \ldots; c_0, c_1, \ldots)=(\phi(h)(a_0), a_1, \ldots; b_0, b_1, \ldots; c_0, c_1, \ldots)$. Esto hace que $$ B\rtimes_\Phi (A^{\mathbb N} \times B^{\mathbb N}\times C^{\mathbb N})\cong(B\rtimes_\phi A)\times A^{\mathbb N}\times B^{\mathbb N}\times C^{\mathbb N}=C\times A^{\mathbb N} \times B^{\mathbb N}\times C^{\mathbb N}\\\cong A^{\mathbb N}\times B^{\mathbb N}\times C^{\mathbb N}\cong B\times (A^{\mathbb N} \times B^{\mathbb N}\times C^{\mathbb N}).$$ Tenga en cuenta que yo uso en repetidas ocasiones que el $X\times X^{\mathbb N}\cong X^{\mathbb N}$.