¿Es única la descomposición de una matriz como producto de matrices elementales?

Question

Sabemos que una matriz invertible $A$ puede escribirse como un producto de matrices elementales, por ejemplo $E_1\cdots E_n$ . Esta descomposición no es, evidentemente, única. Por ejemplo, la matriz elemental $M$ que intercambia la fila 1 y la fila 2 puede insertarse en el producto un número par de veces como este: $$E_1MMMME_2\cdots E_n$$

También sabemos que se puede encontrar una descomposición elemental haciendo operaciones de fila en la matriz para encontrar su inversa, y tomando las inversas de esas matrices elementales. Supongamos que utilizamos el método más eficiente para encontrar la inversa, por más eficiente me refiero al menor número de pasos:

• ¿Es única la descomposición resultante? Dicho de otro modo, ¿es único el método más eficiente? (Sospecho que no lo es).

• ¿La descomposición resultante es única hasta la ordenación de las matrices? (Sospecho que lo es en el caso de $2\times 2$ matrices, y no lo es en matrices de dimensiones superiores)

• Si estas dos cuestiones no son ciertas, debe haber algunos La unicidad se debe a que el determinante de la matriz es único. ¿Qué podría ser?

Answer 1

Dejemos que $$A=\pmatrix{2&3\cr4&5\cr}$$ (por ejemplo - casi cualquier ejemplo debería servir). Podrías dividir la primera fila por 2; restar 4 veces la primera fila a la segunda; dividir la segunda fila por el número apropiado (para obtener un 1 en la esquina inferior derecha); restar el múltiplo apropiado de la segunda fila a la primera.

O bien, podrías dividir la segunda fila por 5; restar 3 veces la segunda fila de la primera; dividir la primera fila por el número apropiado; restar el múltiplo apropiado de la primera fila de la segunda.

De cualquier manera, se obtiene (eficientemente) una factorización en cuatro matrices elementales, pero son factorizaciones diferentes, incluso si se permite reordenar las matrices.

EDIT: Más sencillamente, se podría señalar que $$\pmatrix{a&0\cr0&1\cr}\pmatrix{1&b\cr0&1\cr}=\pmatrix{1&ab\cr0&1\cr}\pmatrix{a&0\cr0&1\cr}$$

Answer 2

La factorización de una permutación como producto de transposiciones no es única: $$(1\ 2\ 3)=(1\ 2)(2\ 3)=(1\ 3)(1\ 2)=(2\ 3)(1\ 3).$$ Asimismo, la factorización de una matriz de permutación como producto de matrices de permutación elementales no es única: $$\left(\begin{matrix}0 & 0 & 1\\1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\end{matrix}\right)=$$$$\left(\begin{matrix} 0 & 1 & 0\\1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1\\N-end{matriz}\a la derecha)\a la izquierda( \begin{matrix}1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1\\0 & 1 & 0\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix} 0 & 0 & 1 & 0\\\N1 & 0\Nend{matrix}\Na la derecha)\N-izquierda( \begin{matrix} 0 & 1 & 0\\1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix} 1 & 0 & 0\\\N0 & 0 & 1\\N-end{matriz}\N-derecha)\N-izquierda( \begin{matrix} 0 & 0 & 1\\0 & 1 & 0\\1 & 0 & 0\end{matrix} |right).$$