Consideremos una secuencia de funciones suaves con soporte compacto $\phi_n$ que aproxima la medida de Dirac a cero, tal que $\int_{\mathbb{R}}\phi_n(x)\,dx=1$ . De acuerdo, puedo considerar algo así, pero ¿puede alguien darme algún ejemplo de dicha secuencia? Sé que será algo así como $\phi(x)=\exp(-x^2)$ pero ¿podría alguien escribirme de forma muy precisa? Si no, tengo una pregunta: ¿esta secuencia tiene un soporte compacto común o cambia con el cambio de $n$ ?
Respuesta
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En general una aproximación a la identidad sólo necesita ser alguna familia $\{\phi_n\}$ de $L^1$ funciones con $\int \phi_n \, dx = 1$ para cada $n$ . En muchas aplicaciones queremos que estos $\phi_n$ para ser 1) suave y 2) con soporte compacto.
Para lograr (1) su ejemplo de $\phi(x) = \frac{1}{\sqrt{\pi}}e^{-x^2}$ funciona, si luego ponemos $\phi_n(x) = n\phi(nx)$ . Para lograr el objetivo (2) queremos elegir $\phi$ para que sea una función de bache, normalmente $$ \phi(x) = \begin{cases} c\exp((1 - |x|^2)^{-1}) & x \in (-1, 1) \\ 0 & x \not\in (-1, 1). \end{cases} $$ Aquí $c$ es cualquier constante positiva necesaria para que la integral sea igual a 1. Entonces establece $\phi_n(x) = n\phi(nx)$ como en el caso anterior. En este caso el soporte de $\phi$ y $\phi_n$ para todos $n \geq 1$ está contenida en $B(0, 1)$ .
