Solución errónea, pero ¿por qué?

Question

Encontrar todas las soluciones de la EDO $$y'=\begin{pmatrix}0 & 1 \\ \frac{-2}{1-x^2} & \frac{2x}{1-x^2}\end{pmatrix}y$$ Lo que hice : Adivinar $y_1=\begin{pmatrix}x \\1\end{pmatrix}$ y reducir el pedido: completa $y_1$ a una matriz invertible tal que $$H^{-1}=\begin{pmatrix}0 & 1 \\ 1 & -x\end{pmatrix}$$ Calcular $$B=\begin{pmatrix}0 & 1 \\ 1 & -x\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0 & 1 \\ \frac{-2}{1-x^2} & \frac{2x}{1-x^2}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 \\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0 \\0\end{pmatrix}$$ Así que $$B=\frac{2}{x^2-1}\begin{pmatrix}1 \\-x\end{pmatrix}$$ y

$B_1=\frac{2}{x^2-1}$ y $B_2=\frac{-2x}{x^2-1}$ resolver $z'=B_2z$

$\Rightarrow C_2=x^2-1$ y $C_1=\int B_1 C_2dx = \int 2dx=2x$

Calcular $HC$ $$HC=\begin{pmatrix}x & 1 \\ 1 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2x \\ x^2-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3x^2-1 \\ 2x\end{pmatrix}$$

Esto debería ser un almation pero no funciona y no sé por qué :(

Answer 1

En el enunciado de la pregunta algunos símbolos no están definidos como $B$ , $C_1$ , $C_2$ , $z\quad$ Esto es confuso y hace difícil responder con certeza.

Sin embargo, el fin del cálculo podría ser :

$$z'=-\frac{2x}{x^2-1}z \quad\to\quad z=\frac{c_2}{x^2-1}$$

$$\int \frac{1}{(x^2-1)^2}dx=\frac{1}{2}\ln\left|\frac{x+1}{x-1}\right|-\frac{x}{x^2-1}$$

$$y=c_1\left(\begin{matrix}x\\1 \end{matrix}\right)+c_2\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}x\ln\left|\frac{1+x}{1-x}\right|-1\\ \frac{1}{2}\ln\left|\frac{1+x}{x-1}\right|-\frac{x}{x^2-1} \end{matrix}\right)$$