Grupos de Picard de esquemas de grupos reductores

Question

Existe información sobre el grupo de Picard (y de Brauer) de un grupo algebraico reductor sobre un campo numérico k. Por ejemplo, Sansuc muestra (en su gran artículo de Crelle de 1980) que si G es conexo y semisimple sobre un campo numérico k, entonces Pic G es el grupo de puntos k-racionales del grupo carácter del grupo fundamental de G. En particular, si G es semisimple y simplemente conexo, entonces Pic G=0. Mi pregunta es: ¿existen resultados de este tipo sobre bases más generales? Por ejemplo, una generalización natural de la igualdad "Pic G=0 si G es semisimple y simplemente conexo sobre un campo numérico" sería "Pic G=Pic U si G es un esquema de grupo semisimple y simplemente conexo sobre un esquema Dedekind U". ¿Es esto último cierto?

Answer 1

Suponiendo que se sabe que el Pic de la fibra genérica es trivial, esto parece seguirse inmediatamente de la secuencia de localización: como G es un grupo hay una sección, por lo que el mapa Pic U a Pic G es una inyección. Por otra parte (dado que G es liso por lo que Pic = Cl) hay una secuencia exacta:

$\ \ \ \oplus_x \mathbb{Z}_x \to Pic \ G \to Pic \ G_K \to 0$

donde X recorre los puntos cerrados de U y $G_K$ denota la fibra genérica. Dado que $Pic\ G_K$ es trivial se deduce de esto que el mapa Pic U a Pic G es suryente.

(Nótese que la única propiedad de las fibras cerradas que se utiliza es que son reducidas e irreducibles).