No entiendo por qué este axioma marca la diferencia entre un campo completamente ordenado y un campo ordenado

Question

He estado leyendo sobre campos ordenados y campos completamente ordenados, y estoy atascado en la diferencia entre los números racionales y los reales que hace que los números racionales sean un campo ordenado y los números reales un campo completamente ordenado. Veo que los reales son completos y los racionales no, pero ¿cómo se correlaciona eso con que uno sea un campo completamente ordenado y el otro sólo un campo ordenado?

Mi libro "A Friendly Introduction to Analysis" de Witold A. J. Kosmala, da el siguiente llamado 'axioma de completitud' que separa un campo completamente ordenado de uno ordenado:

Entiendo lo que dice el axioma, pero me cuesta entender qué significa realmente para el campo al que se aplica, y qué significa realmente para la diferencia entre un campo completamente ordenado y un campo ordenado. Además, ¿por qué los racionales no satisfacen este axioma? Yo pensaba que un subconjunto de los racionales también contiene un supremio, es decir, el mayor número racional de ese subconjunto. ¿Qué parte no entiendo?

Se agradece toda la ayuda.

Answer 1

En los números reales, si $(a_n)$ es una secuencia acotada, monótona y creciente, es decir $a_1 \le a_2 \le a_3 \le \dots$ entonces

$$ \lim_{n} a_n = \sup\{a_n : n \in \mathbb N\} \tag{$ * $} $$

Por tanto, la completitud de un campo ordenado implica que toda secuencia acotada y monótona tiene un límite.

Las secuencias monótonas son importantes para los números reales porque si tomas tu número real favorito y miras sus expansiones decimales. Por ejemplo

$$ 3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415, 3.14159, \dots $$

se obtiene una secuencia monótona creciente de números racionales. Por tanto, al existir cada expansión decimal infinita (en este caso $\pi$ ) se deduce de tener límites para las secuencias monótonas.

Para un no ejemplo en los racionales, considere la secuencia

$$ \frac{1}{1}, \frac{3}{2}, \frac{8}{5}, \frac{21}{13} \dots, \frac{F_{2n}}{F_{2n-1}},\dots $$

donde el numerador y el denominador son números de Fibbonacci. Esto es monótono creciente y converge a la proporción áurea, $\frac{1 + \sqrt 5}{2}$ .

La prueba de este hecho no es importante para esta discusión, así que acepta que es cierto o imagina alguna otra secuencia creciente de números racionales que convergen a un número irracional.

De todos modos, con $a_n = F_{2n}/F_{2n-1}$ como en el caso anterior, el conjunto $\{a_1,a_2,a_3,\dots\}$ no tiene un máximo, porque $a_n < a_{n + 1}$ así que si dijéramos que el máximo era $a_n$ tendríamos un problema porque $a_{n + 1}$ es mayor. Por $(*)$ (que deberías tratar de probar) tenemos

$$ \sup\{a_1,a_2,a_3,\dots\} = \frac{1 + \sqrt 5}{2} $$

Por lo tanto, el conjunto no tiene un sumo racional pero sí tiene un sumo en los reales.