Hace poco me enteré de que aquí datos interesantes sobre $\mathbb F_p((t))$ el campo de la serie formal de Laurent con coeficientes en $\mathbb F_p$ . He buscado bastantes artículos sobre campos locales pero no he podido encontrar una fórmula explícita para una involución (por ejemplo un automorfismo de campo de orden 2) en $\mathbb F_p((t))$ .
Involuciones en $\mathbb F_p((t))$ son interesantes para mí porque quiero investigar el Álgebra de Cayley-Dickson sobre $\mathbb F_p((t))$ . Para ello, utilizo la construcción Cayley Dickson como en aquí que citaré por comodidad:
"La construcción Cayley-Dickson. La principal herramienta para tratar con álgebras cónicas cónicas en general y las álgebras de composición en particular es la construcción de Cayley-Dickson es la construcción de Cayley-Dickson. Sus entradas son un álgebra cónica $B$ y un escalar no nulo $\mu \in k$ . Su salida es un álgebra cónica $C:=Cay(B,\mu)$ que se da en el espacio vectorial suma directa $C= B \oplus Bj$ de dos copias de $B$ por la multiplicación.
(1) $(u_1+v_1j)(u_2+v_2j)=(u_1u_2+\mu v_2^*v_1)+(v_2u_1+v_1u_2^*)j$
(...)"
Para comprobar si $\mathbb F_p((t))$ es lo que Petersson llama un Álgebra Cónica (otros autores aparentemente utilizan el término álgebras cuadráticas o álgebras de grado 2) necesito encontrar una involución $\varphi: \mathbb F_p((t)) \rightarrow \mathbb F_p((t)), x\mapsto \varphi(x)$ tal que $\varphi(x)x=|x|_t$ donde $|x|_t$ denota la norma t-ádica en $\mathbb F_p((t))$ . Intenté usar $x^{-1}|x|_t$ . Funciona bien para un elemento de la forma $x=\sum \limits_{i=z} ^\infty a_it^i$ con $z\in \mathbb Z$ y $a_z\neq 0$ desde $x^{-1}|x|_t$ resulta ser $\frac{|x|_t^2}{\sum \limits _{i=0} a_{i+z}t^i}$ . ¿También funciona con elementos de la forma $x=\sum \limits_{i=-\infty} ^\infty a_it^i$ ¿o hay una involución diferente?
sinceramente slinshady
