Radio de convergencia y existencia de antiderivadas

Question

Creo que tengo algunos malentendidos respecto a algunos conceptos básicos.
En primer lugar, la cuestión que me ocupa es la siguiente:

Dejemos que $f$ sea analítico en $\{z ;|z|>1 \}$ y $\int_{|z|=2}f(z)dz=0$ . Demostrar que $f$ tiene una primitiva en $\{z ;|z|>1 \}$

Sé que si $f$ es analítica en este dominio, entonces tiene una expansión de Laurent que es integrable término a término (donde $|z| > 1$ ) por lo que existe una primitiva. ¿Qué necesito la otra condición $\int_{|z|=2}f(z)dz=0$ ¿Para qué?

Answer 1

$\textbf{Claim}$ : Supongamos que $f$ es analítica en un dominio $\Omega$ . Entonces, $f$ tiene una primitiva en $\Omega$ si $\int\limits_{\gamma}{}f=0$ para toda curva simple cerrada $\gamma \in \Omega$ .

En su caso, toda curva simple cerrada $\gamma$ en $\Omega=\{z:|z|>1\}$ es homotópico a un bucle contraíble o a un bucle alrededor de $0$ que podemos suponer que es el círculo $|z|=2$ . Ahora, comprueba que la afirmación se mantiene.