Norma contra los derivados del producto

Question

Encuentra las antiderivadas de lo siguiente, dado que F(x) y G(x) son las antiderivadas de f(x) y g(x), respectivamente.

1. $f(x) + g(x) \rightarrow$ ¿sería esto sólo $F(x) + G(x) +c$ ?
2. $f(x)G(x) + F(x)g(x) \rightarrow$ ? Reconozco que se trata de la regla del producto, pero ¿cómo encuentro la antiderivada de ésta? Conozco la antiderivada de $f(x)$ es $F(x)$ pero ¿cuál es la antiderivada de $F(x)$ ?

Perdón si esto es muy fácil, es tarde en el semestre y mi cerebro está frito. ¡Gracias por la ayuda!

Answer 1

Como la diferenciación es lineal, sabemos que $(F+G)'=F'+G'=f+g$ . Por lo tanto, $F+G$ es una antiderivada de $f+g$ (esto es lo que media por antiderivada). A menudo escribimos esto como $$ \int f(x)+g(x) \, dx = F(x)+G(x) + C \, , $$ para subrayar que cualquier función de la forma $\phi(x)=F(x)+G(x)+C$ para algún número $C$ satisface $\phi'(x)=f(x)+g(x)$ . También tenemos que $$(F\cdot G)'=\left(F'\cdot G\right)+\left(F \cdot G'\right)=\left(f \cdot G\right)+\left(F\cdot g\right) \, ,$$ y podemos adoptar la misma notación que antes.

Answer 2

Un par de notas: $$\int[f(x)+g(x)]\,dx=\int f(x)\,dx+\int g(x)\,dx$$

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$$\frac{d}{dx}[F(x)G(x)]=F(x)G'(x)+F'(x)G(x)=F(x)g(x)+f(x)G(x)$$