¿De dónde surge la irreversibilidad en la ecuación de momento de Navier-Stokes?

Question

Una forma de la Ecuación de momento de Navier-Stokes se puede escribir como: $$ \rho \left( \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + \mathbf{u} \cdot \nabla \mathbf{u} \right) = - \nabla \bar{p} + \mu \, \nabla^2 \mathbf u + \tfrac13 \mu \, \nabla (\nabla\cdot\mathbf{u}) + \rho\mathbf{g}$$

Esta pregunta parece bastante básica, pero ¿de dónde puede surgir la irreversibilidad en esta ecuación? Por ejemplo, en este vídeo exhibiendo la reversibilidad del flujo de Taylor-Couette, creo que $|\rho \left(\mathbf{u} \cdot \nabla \mathbf{u} \right)|/|\mu \nabla^2 \mathbf u| = {\rm Re} \ll 1$ ya que se encuentra en un régimen de flujo laminar (es decir, bajo número de Reynold). Pero, ¿por qué explícitamente el flujo de Taylor-Couette es reversible, mientras que la agitación del café es irreversible según los términos matemáticos presentes en la ecuación del momento? ¿Se debe al término no lineal debido a una posible interacción entre varias escalas del sistema que hace que el fluido sea difícil de "desmezclar" o se debe de alguna manera a la viscosidad dinámica? $\mu$ ¿Ser estrictamente positivo? ¿O puede surgir la irreversibilidad de otros orígenes, como las condiciones iniciales/limítrofes o el cierre del fluido aplicado? Se agradecerían mucho las ideas matemáticas y la intuición física.

Answer 1

La reversibilidad es característica del régimen de flujo de Stokes -también conocido como "flujo rastrero". En este caso, la velocidad es siempre, en un sentido apropiado, pequeña. Es lo suficientemente pequeña como para que, sin un forzamiento externo, los términos de viscosidad amortigüen el impulso del fluido hasta llegar a cero de forma esencialmente instantánea. (Lo pequeño que sea esto en la práctica depende obviamente de lo viscoso que sea el fluido. En términos del número de Reynolds, esto significa ${\rm Re}\ll 1$ , por lo que sin una fuerza externa, ${\bf u}$ es ya lo suficientemente pequeño como para que se amortigüe en una escala de longitud mucho menor que el tamaño del sistema). Esto sitúa a este sistema en un régimen estándar de sobreamortiguación, como el movimiento de un objeto que cae y que alcanza rápidamente una velocidad terminal proporcional a la fuerza gravitatoria externa.

En las ecuaciones de Navier-Stokes, el término que impide la reversibilidad es el término advectivo ${\bf u}\cdot\nabla{\bf u}$ . Este término representa el cambio en la velocidad local del fluido cuando éste es arrastrado por un movimiento de masa. En un fluido de baja viscosidad, si se pone en movimiento una parte del fluido, ésta seguirá moviéndose durante un tiempo bastante largo, y el ${\bf u}\cdot\nabla{\bf u}$ plazo creará cambios irreversibles en la distribución espacial de ${\bf u}$ . Sin embargo, si el movimiento cesa esencialmente una vez que cesa la fuerza aplicada, este término es muy pequeño; todo se mantiene más o menos en su sitio, de modo que si se vuelve a empujar en la otra dirección, el fluido volverá a moverse hacia donde empezó.

En términos de la ecuación de movimiento, observa que si omites el término advectivo e inviertes las fuerzas externas, hay una solución invertida en el tiempo. (En el problema de Couette, las fuerzas externas provienen de las tensiones de cizallamiento en los límites, mientras que en la versión de la ecuación en la pregunta, puede haber una cabeza de presión externa y la gravedad). Es decir, si $u({\bf x},t)$ era una solución con fuerza externa ${\bf f}$ durante el período $0<t<T$ [tomando el campo de velocidad de una configuración inicial ${\bf u}_{0}({\bf x})$ a ${\bf u}_{1}({\bf x})$ ], entonces $-{\bf u}({\bf x},2T-t)$ es una solución invertida en el periodo $T<t<2T$ con una fuerza igualmente invertida $-{\bf f}$ que lleva la configuración de ${\bf u}_{1}({\bf x})$ volver a ${\bf u}_{0}({\bf x})$ . Esto no funciona con el término de advección presente, porque ${\bf u}\cdot\nabla{\bf u}$ es cuadrática en ${\bf u}$ por lo que los signos menos en $-{\bf u}\cdot\nabla(-{\bf u})$ cancelar.

En realidad, hay una película sobre el flujo de Taylor-Couette en la que aparece el propio G. I. Taylor, que fue quien resolvió por primera vez el problema de estabilidad del sistema, en la que lo explica bastante bien. Sin embargo, parece que no puedo encontrar el vídeo en ninguna parte de la web en este momento.

Answer 2

¿A qué "reversibilidad" se refiere? Si te refieres a la "reversibilidad termodinámica" (un flujo que no genera entropía) entonces la disipación viscosa ( $\mu\nabla^2\mathbf{u}$ ) garantiza siempre ir reversibilidad, sea cual sea el número de Reynolds. Pero tal vez se refiera a la "reversibilidad cinemática", que implica la inversión del flujo en cada detalle al invertirse las fuerzas externas que actúan sobre él, es decir, al invertirse las fuerzas externas, cada partícula de fluido volvería a recorrer su trayectoria hacia atrás.

Los flujos de bajo número de Reynolds, denominados "flujos de arrastre", muestran efectivamente una reversibilidad cinemática a medida que el número de Reynolds ( $Re$ ) $\to 0$ (ver Demostración de G.I. Taylor ). Aquí, el término de advección no lineal ( $\mathbf{u}\cdot\nabla\mathbf{u}$ ) es insignificante (porque $Re\ll 1$ ). Para ver por qué el término de advección es despreciable resulta en la reversibilidad cinemática del flujo, considere el extremo opuesto de un flujo turbulento en el que el término de advección no es despreciable. Como ejemplo concreto, considere la mezcla turbulenta entre dos fluidos inicialmente separados. Se puede imaginar que se trata de un experimento de laboratorio o de una simulación numérica; nosotros imaginaremos esto último. Para simplificar, imaginamos que los dos fluidos son idénticos pero las dos porciones tienen colores diferentes. El flujo de mezcla turbulenta -de hecho, la turbulencia en general- será caótico. Después de que la mezcla haya progresado durante algún tiempo, detenemos la simulación e invertimos el campo de velocidad en todas partes. ¿Se "desmezclarán" ahora los dos fluidos y se separarán el uno del otro? No, porque el dominio del término de advección no lineal hace que el flujo dependa sensiblemente de las condiciones iniciales; esta sensibilidad es la razón por la que los flujos turbulentos no pueden reproducirse con detalle exacto; y como sólo podemos especificar las condiciones iniciales para el flujo invertido con precisión finita, el flujo no se invertirá exactamente y seguiremos teniendo mezcla como antes (en otras palabras, ninguna partícula de fluido volverá a recorrer exactamente su trayectoria anterior). Cuando el término de advección no lineal es despreciable, tenemos un flujo rastrero muy ordenado que puede invertirse porque es más tolerante a pequeños errores en la especificación de las condiciones iniciales.

En resumen: Aunque la ecuación de Navier-Stokes rige todos los flujos, el grado de no linealidad medido por $Re$ no es igual para todos los flujos; así, los flujos en los límites extremos de $Re$ pueden mostrar un comportamiento cualitativamente diferente.