Aproximación de min con p-norma

Question

En caso de que no sea negativo $x \in \mathbb{R}_+^n$ , $p \geq 1$ Quiero encontrar $\epsilon_{n,p}$ tal que

$$ \frac{n^{1/p}}{||1/x||_p} \geq \min (x) \geq \frac{n^{1/p}}{||1/x||_p} - \epsilon_{p,n} ||x||_\infty $$

Esto es lo que he conseguido. Sin pérdida de generalidad, tome $||x||_\infty=1$ Además, dejemos que $x$ sea el vector $(m,1,...,1)$ , donde $m$ es el elemento mínimo de $x$ . Entonces nuestro objetivo es encontrar el valor máximo de

$$\epsilon_{n,p}(m) = \left(\frac{n}{p - 1 + m^{-p}}\right)^{1/p} - m$$

¿Cuál es el límite superior de $\epsilon_{n,p}(m)$ en $m \in [0,1]$ ?

Véase este gráfico para n=3, p=3

Answer 1

[ Editar para responder a la pregunta modificada: ]

Para $p=1$ , $\epsilon_{n,p}(m)=(n-1)m$ y no existe un límite superior para $\epsilon$ , por lo que asumiré $p>1$ .

El derivado de esta nueva versión de $\epsilon$ con respecto a $m$ es

$$\epsilon'_{n,p}(m) = n^{1/p}m^{-(p+1)}\left(p - 1 + m^{-p}\right)^{-(p+1)/p} - 1\;.$$

Si se pone a cero, se obtiene

$$n^{1/p}m^{-(p+1)}\left(p - 1 + m^{-p}\right)^{-(p+1)/p}=1\;,$$

$$n^{-1/(p+1)}m^{p}\left(p - 1 + m^{-p}\right)=1\;,\tag{1}$$

$$(p - 1)m^p + 1=n^{1/(p+1)}\;,$$

$$m=\left(\frac{n^{1/(p+1)}-1}{p-1}\right)^{1/p}\;.\tag{2}$$

A continuación, utilizando (1) para sustituir $p - 1 + m^{-p}$ y (2) sustituir $m$ produce

$$ \begin{eqnarray} \epsilon_{n,p}(m) &=& \left(n^{1/p}n^{-1/(p(p+1))}-1\right)m \\ &=& \left(n^{1/(p+1)}-1\right)\left(\frac{n^{1/(p+1)}-1}{p-1}\right)^{1/p} \\ &=& \left(\frac{\left(n^{1/(p+1)}-1\right)^{p+1}}{p-1}\right)^{1/p}\;. \end{eqnarray} $$

Para $n=3$ , $p=3$ Esto se trata de $0.171$ de acuerdo con su parcela. Para mostrar que esto es siempre un máximo global, observe que $\epsilon_{n,p}(m)$ va a $0$ para $m\to0$ y a $-\infty$ para $m\to\infty$ por lo que si la derivada desaparece en un solo punto, debe ser un máximo global.