¿Es cierto que todo idempotente no trivial en el Álgebra de Cuntz $\mathcal{O}(n)$ es un elemento conmutador?(¿O una combinación lineal de elementos conmutadores?)
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Hay algunas cosas que podrías hacer para simplificar esto.
- El teorema de Kaplansky ( Referencia necesaria para: todo idempotente en una álgebra C* es similar a un hermitiano ) permite demostrar que todo idempotente en un $C^*$ -es similar a una proyección. Por lo tanto, para demostrar su afirmación, sólo tiene que demostrar que cada proyección en $\mathcal{O}_n$ es una combinación lineal de elementos conmutadores, porque la similitud conserva la propiedad de ser un conmutador o una combinación lineal de conmutadores.
- En $\mathcal{O}_n = C^*(s_1,\ldots,s_n)$ (aquí $s_1,\ldots,s_n$ son las isometrías generadoras habituales), las proyecciones $s_i s_i^*$ son combinaciones lineales de conmutadores. Para cualquier $i=1,\ldots,n$ puedes tomar la isometría $s_i$ y luego el conmutador $[s_i^*,s_i]$ es $Q_i=\sum_{k \neq i} s_k s_k^*$ . El conjunto de todas estas proyecciones $\{Q_i\}_{i =1}^n$ forma una base para el espacio vectorial abarcado por $\{s_1 s_1^*, \ldots, s_n s_n^*\}$ . (Esto es como mostrar la matriz con ceros en la diagonal y $1$ en todo lo demás es invertible).
- Cada proyección en $\mathcal{O}_n$ está en el mismo $K_0$ -como una proyección de la forma $s_1 s_1^* + \ldots +s_j s_j^*$ para algunos $j \leq n$ . Así que todo lo que necesitas hacer es demostrar que la pertenencia a la misma $K_0$ -clase preserva ser una combinación lineal de conmutadores. Creo que la caracterización de la similitud de decidir cuando dos proyecciones están en el mismo $K_0$ -trabajos de clase.
Siento no haber dado una respuesta definitiva, es que me parece que todo esto quedaría bastante desordenado como comentario.
