Diagramas de Dynkin de tipo ADE

Question

Los diagramas de Dynkin de tipo ADE parecen surgir en áreas aparentemente diferentes de las matemáticas. Dos lugares en los que aparecen son:

(1) Clasificación de las álgebras de mentiras simples complejas.

(2) Subgrupos finitos de $Sl_2 (\mathbb{C})$

¿Hay otros objetos que clasifican?

Answer 1

Clasifican las álgebras de racimos de tipo finito (es decir, con un número finito de racimos). Véase S. Fomin, A. Zelevinski, Álgebras de racimos II: Clasificación de tipo finito , Inventar. Math. 154 (2003), 63--121.

Answer 2

Clasifican los (gérmenes de) puntos singulares racionales aislados de espacios analíticos complejos bidimensionales. Véase A. E. Durfee, Quince caracterizaciones de puntos dobles racionales y puntos críticos simples . Enseign. Math. (2) 25 (1979), nº 1-2, 131--163.

Answer 3

Clasifican los gráficos principales de $II_1$ -subfactores con índice inferior a $4$ . El gráfico principal puede ser $A_n$ , $D_{2n}$ , $E_6$ o $E_8$ pero $D_{odd}$ y $E_7$ no se producen.

Answer 4

Este documento http://arxiv.org/abs/hep-th/0006151 (CFT, BCFT, ADE y todo eso, por Jean-Bernard Zuber) proporciona la siguiente lista de objetos matemáticos que entran en una clasificación ADE:

1. álgebras de Lie simples, es decir, con raíces de igual longitud;

2. grupos de reflexión finitos de tipo cristaloide y de tipo simplemente encajado;

3. subgrupos finitos de SO(3) o de SU (2), (o los sólidos platónicos asociados);

4. Singularidades kleinianas;

5. singularidades "simples", es decir, sin módulo;

6. quivers de tipo finito;

7. matrices simétricas con valores propios entre 2 y +2;

8. soluciones algebraicas de la ecuación hipergeométrica;

9. subfactores de índice finito;

Algunos otros, que presumiblemente no figuran en las respuestas dadas, son:

10. Fondos suaves de Freund-Rubin de la supergravedad de once dimensiones ( http://arxiv.org/abs/0909.0163 - Cocientes de medio BPS en la teoría M: ADE with a twist, por Paul de Medeiros, José Figueroa-O'Farrill, Sunil Gadhia y Elena Méndez-Escobar).

11. Fondos de Freund-Rubin no lisos de la supergravedad de once dimensiones ( http://arxiv.org/abs/1007.4761 - Orbifolds de media BPS M2, por Paul de Medeiros y José Figueroa-O'Farrill)

Los artículos que explican la aparición de la clasificación ADE desde la teoría de cuerdas se encuentran en http://ncatlab.org/nlab/show/ADE+clasificación

David Corfield ya indicó el blog de John Baez "This Week's Finds in Mathematical Physics", Semana 230, donde se puede encontrar un enlace a la tesis de van Hoboken http://www.jorisvanhoboken.nl/?p=10 (Sólidos platónicos, grupos poliédricos binarios, sigularidades kleinianas y álgebras de Lie de tipo A,D,E).

Answer 5

Clasifican ciertos tipos de teorías de campo conformes racionales, como en este reciente documento de revisión .