Diagramas de Dynkin de tipo ADE

Question

Los diagramas de Dynkin de tipo ADE parecen surgir en áreas aparentemente diferentes de las matemáticas. Dos lugares en los que aparecen son:

(1) Clasificación de las álgebras de mentiras simples complejas.

(2) Subgrupos finitos de $Sl_2 (\mathbb{C})$

¿Hay otros objetos que clasifican?

Answer 1

Clasifican los quivers para los que el álgebra de trayectoria es de tipo de representación finita, según un famoso teorema de P. Gabriel.

Answer 2

¿Has leído este de John McKay y las 6 ediciones de This Week's Finds que aparecen al final? Semana 230 da muchas apariciones en ADE.

Answer 3

Clasifican las llamadas "singularidades simples" de los mapas diferenciales, es decir, de aquellos tipos de singularidades que no implican parámetros. Véase V. I. Arnold, S. M. Gusen-Zade, A. N. Varchenko, Singularities of differentiable maps, Vol. 2, Cap. 15, secc. 1.

Answer 4

Como dijo Mariano, los diagramas de ADE Dynkin clasifican quivers de tipo de representación finita. Pero espera, hay más. Si añades un vértice más a un diagrama de Dynkin (de una manera particular, no arbitraria), obtienes un diagrama de Dynkin extendido (también conocido como diagrama euclidiano). Los diagramas de ADE extendidos clasifican a los quivers de tipo de representación dócil. Esto está relacionado con el hecho de que los diagramas ADE extendidos te dan una forma Tits semidefinida positiva, mientras que los diagramas ADE ordinarios te dan una forma Tits definida positiva.

Answer 5

Clasifican las álgebras de racimos de tipo finito (es decir, con un número finito de racimos). Véase S. Fomin, A. Zelevinski, Álgebras de racimos II: Clasificación de tipo finito , Inventar. Math. 154 (2003), 63--121.