¿Cuál es la propiedad universal de la normalización?

Question

¿Cuál es la propiedad universal de la normalización? Estoy buscando una respuesta algo así como

Si X es un esquema e Y→X es su normalización, luego el morfismo Y→X tiene la propiedad P y cualquier otra morfismo Z→X con propiedad P factores únicos a través de Y.

Answer 1

La normalización es un adjunto al funtor de inclusión de la categoría de esquemas normales a la categoría de esquemas reducidos. En otras palabras, si $n:Y\rightarrow X$ es la normalización de $X$ y $f:Z\rightarrow X$ es cualquier morfismo donde $Z$ es un esquema normal, entonces $f$ factores únicos a través de $n$.

Answer 2

Supongo que puede que ya no te preocupes por esto, pero la Proposición 12.44 en el libro de Görtz y Wedhorn responde a tu pregunta (sobre esquemas integrales): Para cada esquema integral y normal Y' y cada morfismo dominante$ f: Y' \to X $ existe un morfismo único $g: Y' \to Y$ tal que $n\circ g = f$.

Answer 3

Creo que está bien si reformulas así: sea X un esquema con anillo de fracciones R. Entonces la normalización de X es el ejemplo universal de un esquema normal con anillo de fracciones R mapeando a X.