Demostrar que si $\sum_1^\infty a_n$ converge siempre que $a_n>0$ para todos $n$ entonces $\sum_1^\infty \sqrt{a_na_{n+1}}$ también converge

Question

He escrito $b_n:=\sqrt{a_na_{n+1}}$ y traté de aplicar algunas pruebas en la serie. Aquí están las pruebas que no funcionaron:

$$b_n<=a_n$$

$$\lim_{n\to\infty} \frac{b_n}{a_n}$$

$$\lim_{n\to\infty} {b_{n+1}}{b_n}$$

$$\frac{b_{n+1}}{b_n}<=\frac{a_{n+1}}{a_n}$$

Answer 1

Obsérvese que como todos los términos son positivos tenemos $$\sqrt{a_n a_{n+1}} \leq \dfrac{a_n + a_{n+1}}2$$ Por lo tanto, tenemos $$\sum_{n=1}^N \sqrt{a_n a_{n+1}} \leq \dfrac12\left(\sum_{n=1}^Na_n + \sum_{n=1}^N a_{n+1}\right) = \sum_{n=1}^N a_n + \dfrac{a_{N+1}-a_1}2$$ Ahora aprovecha el hecho de que $\sum_{n=1}^N a_n$ converge y que $\lim_{N \to \infty} a_N = 0$ para concluir lo que quiere.

De hecho, somos capaces de mostrar una afirmación ligeramente más fuerte de que la serie $\sum_{n \in \mathbb{N}} \sqrt{a_na_{n+1}}$ converge a un número menor que $\sum_{n \in \mathbb{N}} a_n$ ya que $a_1 > 0$ .

Answer 2

Cauchy Schwarz:

$$ \left( \sum_{n=1}^{\infty} \sqrt{a_n a_{n+1}} \right)^2 \leq \sum_{n=1}^{\infty} a_n \cdot \sum_{n=1}^{\infty} a_{n+1}$$

Answer 3

Por la desigualdad AM-GM $\sqrt{a_n a_{n+1}} < \frac{a_n +a_{n+1}}{2}$