Equivalencia de categorías Explicación del lema

Question

En la imagen de abajo, no consigo entender los siguientes puntos del Lemma 1.5.1:

1. ¿Por qué necesitamos $C \times 2$ como el dominio del functor H?
2. ¿Qué hace " $H$ restringe a lo largo de $i_0$ y $i_1$ a los funtores $F$ y $G$ ¿"Significa"?
3. ¿Cómo obtenemos una biyección entre a transformación natural y functor $H$ ?

Answer 1

Asumo que estás familiarizado con las homotopías entre mapas continuos. Si no es así, le sugiero que intente comprender primero ese concepto y luego intente entender esta analogía.

Para hablar de la analogía dejemos $X,Y$ sean espacios topológicos y $f,g\colon X\to Y$ mapas continuos. Sea $F\colon X\times I\to Y$ sea una homotopía entre ellos, es decir, un mapa continuo tal que $F|_{X\times \{ 0\}}=f$ y $F|_{X\times \{ 1\}}=g$ .

1. En la analogía, al igual que antes teníamos $X\times I$ como el dominio de nuestra homotopía $F$ Ahora tendremos $C\times \mathbb{2}$ como el dominio de nuestro "homotopy-functor" $H$ .

2. Esto significa precisamente lo que está escrito en el diagrama de abajo, y la palabra restringe se justifica precisamente por esta analogía, en la que $F$ realmente se limita a $f$ en $X\times \{ 0\}$ y a $g$ en $X\times \{ 1\}$ . Obsérvese que en el caso topológico también se puede expresar con un diagrama muy similar, es decir, utilizando inclusiones inferiores y superiores $i_{0},i_{1}\colon X \to X\times I$ .

3. La biyección es un ejercicio agradable y fácil que no quiero estropear. Sólo tienes que escribir qué es cada cosa y verás cómo asignar a cada transformación natural $\alpha$ tal functor $H$ y viceversa. Consejos : los objetos son fáciles. Para los morfismos, ten en cuenta que hay 3 casos: $f\times \rightarrow $ , $f\times id_{0}$ o $f\times id_{1}$ para algún morfismo $f$ en $C$ . Los dos últimos casos son fáciles porque se sabe que deben ser el functor correspondiente $F$ o $G$ . Para el primer caso se utiliza (resp. se define) la transformación natural a través de su componente en el dominio de $f$ y luego se compone con el morfismo correspondiente a la condición de naturalidad. Para hacerlo más intuitivo, piensa en el mapa $f\times \rightarrow \colon (c_{1},0) \to (c_{2},1)$ como la composición $$(c_{1},0)\to (c_{1},1) \to (c_{2},1)$$

Answer 2

Veo que esta pregunta tiene una respuesta ya aceptada, sin embargo permítame añadir algo aquí.

2. ¿Qué hace " $H$ restringe a lo largo de $i_0$ y $i_1$ a los funtores $F$ y $G$ ¿"Significa"?

Esto significa que los compuestos $H \circ i_0$ y $H \circ i_1$ son iguales a $F$ y $G$ respectivamente (es decir, los dos triángulos del diagrama conmutan).

1. ¿Por qué necesitamos $C \times 2$ como el dominio del functor $H$ ?

Este es probablemente el punto más difícil de responder. Observe que si el $H$ restringe a $F$ y $G$ a través de la $i_j$ entonces para cada objeto $c \in C$ se tiene el morfismo $$(c,0) \longrightarrow (c,1)$$ cuya imagen a través de $H$ le proporcionan un morfismo $$F(c)=H(c,0) \longrightarrow H(c,1)=G(c)$$ cuyo origen y destino coinciden con los del $c$ -componente de una transformación natural.

Por otro lado, para cada $f \in C[c,c']$ tienes un cuadrado conmutativo $$\require{AMScd}\begin{CD} (c,0) @>>> (c,1) \\ @V(f,\text{id}_0)VV @VV(f,\text{id}_1)V \\ (c',0) @>>> (c',1) \end{CD} $$ Esta plaza se envía a través de $H$ en la plaza $$\begin{CD} F(c)=H(c,0) @>>> H(c,1)=G(c) \\ @V{F(f)=H(f,\text{id}_0)}VV @VV{H(f,\text{id}_1)=G(f)}V \\ F(c')=H(c',0) @>>> H(c',1)=G(c') \end{CD}$$ que es una plaza de la naturalidad.

Así que como puedes ver las imágenes de los morfismos $(c,0) \to (c,1)$ a través de $H$ forma los componentes si las transformaciones naturales. Esto ocurre porque $C \times 2$ tiene suficiente estructura para construir la mencionada plaza.

Por supuesto, hay una razón más profunda para que esto funcione, a saber, que $2$ es el objeto de clasificación para los morfismos de una categoría , eso significa que hay un natural biyección entre funtores de $2$ en una categoría $C$ y morfismos de $C$ . Pero esa es una historia para otro día.

En este punto espero que la respuesta a

3. ¿Cómo obtenemos una biyección entre un transformación natural y functor $H$ se puede adivinar fácilmente.

No dude en pedir cualquier detalle adicional.