Evaluar $\int (2x+3) \sqrt {3x+1} dx$

Question

Evaluar $\int (2x+3) \sqrt {3x+1} dx$

Mi intento: Deja que $u=\sqrt {3x+1}$ $$\dfrac {du}{dx}= \dfrac {d(3x+1)^\dfrac {1}{2}}{dx}$$ $$\dfrac {du}{dx}=\dfrac {3}{2\sqrt {3x+1}}$$ $$du=\dfrac {3}{2\sqrt {3x+1}} dx$$

Answer 1

Sugerencia . Uno puede encontrar $a,b \in \mathbb{R}$ tal que $$ (2x+3) \sqrt {3x+1}=\color{red}{a}\cdot(3x+1)^{3/2}+\color{red}{b}\cdot(3x+1)^{1/2}. $$

Answer 2

Vamos a dividir $2x+3 = \frac23 (3x+1)+\frac73$ y simplificar para darnos: $$I = \int (2x+3)\sqrt{3x+1}\, dx = \frac23 \int (3x+1)^{\frac32}\, dx+ \frac73 \int \sqrt {3x+1}\, dx$$ que puede resolverse fácilmente.

Answer 3

$$\int \left( 2x+3 \right) \sqrt { 3x+1 } dx=\\ 3x+1={ t }^{ 2 }\\ x=\frac { { t }^{ 2 }-1 }{ 3 } \\ dx=\frac { 2t }{ 3 } dt\\ \int { \left( \frac { 2{ t }^{ 2 }-2 }{ 3 } +3 \right) } { t }\frac { 2t }{ 3 } dt=\frac { 2 }{ 9 } \int { \left( 2{ t }^{ 2 }+7 \right) { t }^{ 2 }dt } =\frac { 4 }{ 9 } \int { { t }^{ 4 }dt } +\frac { 14 }{ 9 } \int { { t }^{ 2 }dt } =\\ =\frac { 4 }{ 9 } \cdot \frac { { t }^{ 5 } }{ 5 } +\frac { 14 }{ 9 } \cdot \frac { { t }^{ 3 } }{ 3 } +C=\frac { 4 }{ 45 } { t }^{ 5 }+\frac { 14 }{ 27 } { t }^{ 3 }+C=\frac { 4 }{ 45 } { \left( 3x+1 \right) }^{ \frac { 5 }{ 2 } }+\frac { 14 }{ 27 } { \left( 3x+1 \right) }^{ \frac { 3 }{ 2 } }+C$$

Answer 4

Por partes: $u=2x+3$ y $\mathrm dv=\sqrt{3x+1}$ entonces $$ \int(2x+3)\sqrt{3x+1}\;\mathrm dx=\frac{2}{9}(2x+3)(3x+1)^{3/2}-\frac{4}{9}\int(3x+1)^{3/2}\;\mathrm dx\\ =\frac{2}{9}(2x+3)(3x+1)^{3/2}-\frac{8}{135}(3x+1)^{5/2}+C $$

Answer 5

¿No podría simplemente introducir la sustitución $u=\sqrt{3x+1}$ , $x=\frac{u^2-1}{3}$ , $dx=\frac23 udu$ Así que..:

$$\int (2x+3) \sqrt {3x+1} dx=\int \left(\frac23 (u^2-1)+3\right)u\cdot \frac23 udu$$

que es una integral de un polinomio en $u$ - fácil de resolver.