Consideremos cualquier curva cerrada en el plano que no repita ningún segmento, pero que posiblemente se cruce en varios puntos.
¿Cómo puedo demostrar que las caras son $2$ -colorables.
Por ejemplo:
Se agradece la ayuda.
Respuestas
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Tomas
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Tome la curva como un gráfico simple, donde las intersecciones son vértices. Entonces este gráfico es obviamente plano y permite un ciclo euleriano.
Consulte que en los grafos planos, la eulerianidad implica que su grafo dual es bipartito. En el grafo dual, las caras se convierten en vértices y un grafo bipartito es ciertamente bicolorable.
Pawel
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28
Esta es una respuesta que apela a la intuición:
Sea la curva (suficientemente bonita) $\gamma$ y considere la función de número de bobinado $f(z)=n(\gamma,z)$ . Observe que $f(z)$ es constante en cualquiera de las regiones del plano complejo definidas por $\gamma$ . También, $f(z)$ cambiará por $1$ o $-1$ cuando se mueve de una región a otra. Ahora, consideremos los valores de $f(z)$ mod $2$ para ver por qué se produce el patrón de damero.
vadim123
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Vamos a demostrarlo para una unión finita de curvas cerradas de longitud finita, con un número finito de intersecciones.
Prueba por inducción en ese número de intersecciones. Si es 0, se tiene una unión finita de bucles disjuntos; colorear cada punto por el número de bucles que lo contienen (mod 2). Si es mayor que 0, se puede tomar cualquier intersección. Debido a que hay finitamente muchos, hay un pequeño barrio alrededor de ella, donde se puede reemplazar X por )(, la eliminación de la intersección y la reconfiguración de las curvas (pero siguen siendo de longitud finita cerrada). Además, el resultado tiene menos intersecciones, por lo que podemos aplicar la inducción para colorear el resultado. Las tres regiones tienen que tener el color A-B-A, por lo que restaurar la intersección preserva la 2-colorabilidad.
