Supongamos que todas las soluciones que comienzan en $\mathbb{R}^2_{+} := \{\, (x, y) : x \ge 0,\ y \ge 0 \,\}$ están acotados para $t > 0$ . Se deduce entonces que el dominio de cualquier solución de este tipo contiene $[0, \infty)$ y que el $\omega$ -El conjunto de límites es compacto y no vacío.
Dejemos que $L$ representan a la $\omega$ -conjunto de límites de algún punto, $(x_0, y_0)$ suficientemente cerca de la inestable enfoque $(2,4)$ . Por el teorema de Poincaré-Bendixson, $L$ es un ciclo límite, o un ciclo heteroclínico, (EDIT: o un bucle homoclínico), o un equilibrio.
$L$ no puede ser un equilibrio. De hecho, hay tres posibilidades: o bien $L = \{(0, 0)\}$ o $L = \{(6,0)\}$ o bien $L = \{(2, 4)\}$ . En los dos primeros casos, los equilibrios son sillas de montar, por lo que $(x_0, y_0)$ debe pertenecer a la variedad estable, lo que significa que $\{\, (0, y) : y > 0 \,\}$ o $\{\, (x, 0) : x \in (0, 6) \cup (6, \infty) \,\}$ . En el tercer caso, el único punto cuyo $\omega$ -el conjunto de límites es $\{(2,4)\}$ es $(2,4)$ sí mismo.
Procedemos ahora a excluir el caso del ciclo heteroclínico (EDIT: o bucle homoclínico). Pero la única conexión posible es de $(0, 0)$ a $(6,0)$ , por lo que no hay ciclos heteroclínicos.
En consecuencia, $L$ es un ciclo límite que rodea a $(2,4)$ .
A continuación se muestra un boceto del retrato de la fase:
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Por cierto, no es tan fácil demostrar que todas las soluciones que empiezan en $\mathbb{R}^2_{+}$ están acotados para tiempos positivos. El OP dio eso como una suposición, pero debería seguir de alguna manera de la forma del sistema.
