Límite multivariable $\lim\limits_ {(x, y) \to (0, 0)} \frac {e^{xy} − 1} y$

Question

Estoy mirando : $$\lim\limits_ {(x, y) \to (0, 0)} \frac {e^{xy} 1} y$$

y elegir el camino $y = 0$ el límite se convierte en:

$$\lim\limits_ {(x, 0) \to (0, 0)} \frac {1 1} 0$$

En una clave de respuesta, este límite se evalúa a 0 pero no sé por qué porque 0/0 debería ser indefinido.

Answer 1

El camino ${y=0}$ no está en el dominio de su función.

Para $y\ne 0$ tenemos $$e^{xy}=1+xy+\frac {x^2y^2}{2!}+.....$$

$$ e^{xy}-1 = xy+\frac {x^2y^2}{2!}+.....$$

$$ \frac{e^{xy}-1}{y} = x+\frac {x^2y}{2!}+.....$$

$$ lim_{(x,y)\to (0,0)} \frac{e^{xy}-1}{y} =$$

$$ lim_{(x,y)\to (0,0)} x+\frac {x^2y}{2!}+..... = {0} $$

Answer 2

He pensado que podría ser instructivo presentar un enfoque que se basa únicamente en un par de desigualdades elementales y en el teorema del estrujamiento. Para ello, procedemos.

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En ESTA RESPUESTA Utilicé sólo la definición de límite de la función exponencial y la desigualdad de Bernoulli para demostrar que

$$1+x\le e^{x}\le \frac{1}{1-x}\tag 1$$

para $x<1$ . Utilizando $(1)$ tenemos para $xy<1$

$$x\le \frac{e^{xy}-1}{y}\le \frac{x}{1-xy}$$

por lo que el teorema del apretón garantiza que

$$\bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{\lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{e^{xy}-1}{y}=0}$$

¡Y ya está!

Answer 3

Para evaluar un límite $f(z)/g(z)$ como $z\to 0$ por lo general no se puede simplemente tomar $f(0)/g(0).$ Por ejemplo, si $f(z)=g(z)=z$ por cada $z,$ entonces $f(z)/g(z)=1$ cuando $z\ne 0$ pero $f(0)/g(0)$ no existe.

Se asume tácitamente que si $g(0)=0$ entonces el límite de $f(z)/g(z)$ como $z\to 0 $ se evalúa como el límite como $z\to 0$ a través de valores distintos de cero.

(i). Para $y\ne 0\ne x$ tenemos $$\frac {e^{xy}-1}{y}=x\cdot \frac {e^{xy}-1}{xy}=x\cdot \frac {f(z)-f(0)}{z-0}$$ donde $z=xy$ y $f(z)=e^z.$ Como $(x,y)\to (0,0)$ con $y\ne 0\ne x$ tenemos $z\to 0$ así que $$\frac {f(z)-f(0)}{z-0}\to f'(0)=e^0=1.$$ Y también tenemos $x\to 0,$ así que $x\cdot \frac {f(z)-f(0)}{z-0}\to 0\cdot 1=0.$

(ii). Para $y\ne 0$ y $x=0$ tenemos $\frac {e^{xy}-1}{y}=\frac {e^0-1}{y}=0.$

Por (i) y (ii), si $(x,y)\to (0,0)$ con $y\ne 0$ entonces $\frac{e^{xy}-1}{y}\to 0.$

Answer 4

$$\lim\limits_ {(x, y) \to (0, 0)} \frac {e^{xy} − 1} y= \lim\limits_ {(x, y) \to (0, 0)} x\cdot\lim\limits_ {(x, y) \to (0, 0)}\frac {e^{xy} − 1}{ xy}= \lim\limits_ {{(x, y) \to (0, 0)}} x\cdot\lim\limits_ {h \to 0}\frac {e^{h} − 1}{ h}0*1=0$$

Answer 5

Tenga en cuenta que

$$\frac {e^{xy} − 1} y=x \cdot \frac {e^{xy} − 1} {xy}\to 0\cdot1=0$$

En efecto,

$$e^{xy}=1+xy+o(\rho^2)\implies \frac {e^{xy} − 1} {xy}=\frac {1+xy+o(\rho^2) − 1} {xy}=\frac {xy+o(\rho^2)} {xy}=1+o(1)\to1$$