¿Por qué los valores de las expectativas de un estado estacionario no evolucionan con el tiempo?

Question

Tengo un observable $O$ con operador $\hat{O}$ . $\Psi_1$ es una función de onda en un estado propio de energía, y $\psi_1$ es la función de onda espacial correspondiente. $E$ es la energía correspondiente.

Se demuestra que el valor esperado de $O$ es invariable en el tiempo con las siguientes expresiones: $$\langle O\rangle=\int\Psi_1^*\hat{O}\Psi_1~dx=\int\psi_1^*e^{iEt/\hbar}\hat{O}(\psi_1e^{-iEt/\hbar})~dx\rightarrow\int\psi_1^*\hat{O}\psi_1~dx$$

La última expresión es independiente del tiempo. Pero he utilizado una flecha hacia la derecha porque no veo por qué es igual a los otros términos. Supongo que se supone que los dos términos exponenciales se anulan multiplicando a 1. ¿Pero por qué se permite sacar el exponencial del efecto del operador sin ninguna alteración? ¿Por qué pensamos que el operador debe actuar sólo sobre la función de onda espacial? Un contraejemplo de un operador para el que esto no debería estar permitido es un operador de energía $$\hat{E}=i\hbar\frac{\partial}{\partial t}.$$

¿Hay algo que diga que los operadores "normales" no hacen esas operaciones?

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Por ejemplo, creo que podría definir un operador lineal hermitiano (pero decididamente estúpido e inútil) $$\hat{t}\Psi=t\Psi$$ lo que violaría esa prueba para la in-varianza del valor de la expectativa en el tiempo (sólo multiplica la función de onda por el tiempo, de la manera que un operador de posición multiplica por la posición). ¿Qué resuelve esta cuestión?

Answer 1

• $\hat O$ es un lineal operador. Esto significa que $\hat O(\alpha \psi) = \alpha \hat O(\psi)$ para todos los escalares $\alpha$ y el factor $e^{-iEt / \hbar}$ es escalar.

• " $\mathrm i\hbar \partial_t$ " es no un operador en el espacio de Hilbert, porque el tiempo es un parámetro en la mecánica cuántica, véase por ejemplo aquí .

• Si $\hat O = \hat O(t)$ tiene una dependencia temporal explícita, como en su ejemplo del final, entonces $\langle \hat O(t) \rangle$ no es independiente del tiempo, por supuesto. Sin embargo, al hablar de observables, solemos asumir que no son explícitamente dependientes del tiempo.
  ("Depende explícitamente del tiempo" significa aquí que el operador $\hat O$ cambia en función del tiempo).