Si $p$ es un primo impar y $a,b$ son números enteros relativamente primos, demuestre que : $$\text{gcd}\bigg(a+b, \frac{a^p+b^p}{a+b}\bigg)=1 \ \text{or} \ p$$
Como es obligatorio mostrar los intentos de evitar el cierre de los puestos, aquí está el mío :
En primer lugar, he intentado simplificar:
La factorización da : $$\frac{a^p+b^p}{a+b}=a^{p-1}-a^{p-2}+a^{p-3}-a^{p-4}+\dots-a+1$$ Para calcular $\text{gcd}$ podemos reducirlo, utilizando el hecho de que $p$ es un primo impar, ya que es impar, $p-1$ es par, por lo que : \begin{align} \frac{a^p+b^p}{a+b}&=a^{p-1}-a^{p-2}+\dots+a^{2x}-a^{2x-1}+\dots-a+1 \\\ &=(-1)^{p-1}-(-1)^{p-2}+\dots+(-1)^{2x}-a+1 \ (\text{mod} \ a+1) \\\ &=1+1+1\dots+1 \equiv p(\text{mod} \ a+1) \end{align} Así, por el algoritmo euclidiano : $$\text{gcd}\bigg(a+b, \frac{a^p+b^p}{a+b}\bigg)=\text{gcd}(a+1,p)$$
Y aquí es donde estoy atascado, pensé que se supone que debo reorganizarlo, pero, por desgracia no tengo nada, ¿Alguna sugerencia? Estaré muy agradecido.
