Permutaciones del conjunto $\{1,2,...,n\}$ y los números primos

Question

Acabo de observar para algunos pequeños $n$ que podemos encontrar una permutación del conjunto $\{1,2,...,n\}$ que es tal que la suma de dos números adyacentes cualquiera es un número primo.

Por ejemplo, el conjunto $\{1,2,3,4,5,6\}$ y permutarlo para obtener $\{1,4,3,2,5,6\}$ . Entonces tenemos $1+4=5$ y $4+3=7$ y $3+2=5$ y $2+5=7$ y $5+6=11$ por lo que la suma de dos números adyacentes cualquiera es un número primo.

Así que, naturalmente, me pregunté si es posible que haya algún conjunto infinito $\{n_i:i \in \mathbb N\}$ un subconjunto del conjunto de los números naturales, tal que todo conjunto de estos conjuntos $\{\{1,2,...,n_i\}:i \in \mathbb N\}$ puede permutarse de al menos una manera para obtener un conjunto que tenga la propiedad de que la suma de cada dos números adyacentes sea un número primo.

¿Puede ser que dicho conjunto exista? ¿O algún hecho conocido o conjeturado prohíbe su existencia?

Answer 1

Esto todavía está incompleto, pero puede ayudar:

Nosotros decimos $n$ es primo-permutable si podemos permutar $\{1,2,3\dots n\}$ de manera que la suma de los términos adyacentes sea prima.

Queremos determinar si el conjunto $M$ de enteros primos-permutables es finito o infinito. ( pero si podemos sería genial).

Si es finito probablemente no podremos probarlo ya que si $n+1$ y $n+3$ son primos gemelos entonces $n$ es permutable, a través de la permutación:

$1,n,3,n-2,5,\dots, n-1,2$ .

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El número de permutaciones adecuadas para $n\leq 12$ es:

$ 2 : 2 $

$ 3 : 2 $

$ 4 : 8 $

$ 5 : 4 $

$ 6 : 16 $

$ 7 : 24 $

$ 8 : 60 $

$ 9 : 140 $

$ 10 : 1328 $

$ 11 : 2144 $

$ 12 : 17536 $

$ 13 : 23296 $

$ 14 : 74216 $

$ 15 : 191544 $

$ 16 : 2119632 $

$ 17 : 4094976 $

$ 18 : 24223424 $

$ 19 : 45604056 $