Puntos no coplanarios en $\mathbb{R}^3$ si y sólo si su determinante es distinto de cero

Question

Cómo demostrar que los puntos $P_1(x_1,y_1,z_1)$ , $P_2(x_2,y_2,z_2)$ , $P_3(x_3,y_3,z_3)$ , $P_4(x_4,y_4,z_4)$ no son coplanares si y sólo si el determinante $$\left|\begin{array}{cccc} x_1 & y_1 & z_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & z_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & z_3 & 1 \\ x_4 & y_4 & z_4 &1 \\ \end{array} \right| \neq 0$$

Answer 1

Si los puntos son coplanarios, entonces se puede encontrar la ecuación de un plano $P \equiv ax+by+cz+d=0$ de manera que todos sus puntos verifiquen la ecuación con $(a,b,c,d) \neq (0,0,0,0)$ . De ahí que el sistema $$\begin{cases} x_1 a + y_1 b + z_1 c + 1 d = 0 \\ x_2 a + y_2 b + z_2 c + 1 d = 0 \\ x_3 a + y_3 b + z_3 c + 1 d = 0 \\ x_4 a + y_4 b + z_4 c + 1 d = 0 \end{cases}$$ tiene una solución no trivial y el determinante desaparece (si no $(0,0,0,0)$ sería la única solución).

Por el contrario, si el determinante desaparece, el sistema tiene al menos una solución no nula $(a,b,c,d)$ y esto forma la ecuación de un plano satisfecho por los puntos que son coplanares.

Answer 2

Reclamación:

El valor absoluto de este determinante
$$\left|\begin{array}{cccc} x_1 & y_1 & z_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & z_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & z_3 & 1 \\ x_4 & y_4 & z_4 &1 \\ \end{array} \right| $$
es el volumen de un paralelepípedo (sesgado) con vértices $(x_1,y_1,z_1),(x_2,y_2,z_2),(x_3,y_3,z_3),(x_4,y_4,z_4)$ .

Prueba: Sabemos que el volumen es el valor absoluto del determinante que tiene como columnas los vectores que representan los lados del paralelepípedo: $$ d= \left|\begin{array}{cccc} x_1-x_4 & y_1-y_4 & z_1-z_4 \\ x_2-x_4 & y_2-y_4 & z_2-z_4 \\ x_3-x_4 & y_3-y_4 & z_3-z_4\\ \end{array} \right| $$ Ahora, por descomposición cofactorial de un determinante tenemos: $$ d= \left|\begin{array}{cccc} x_1-x_4 & y_1-y_4 & z_1-z_4&1 \\ x_2-x_4 & y_2-y_4 & z_2-z_4&1 \\ x_3-x_4 & y_3-y_4 & z_3-z_4&1\\ 0&0&0&1 \end{array} \right| $$ y, multiplicar las últimas columnas bi $x_4$ y añadiendo a la primera columna encontramos $$ d= \left|\begin{array}{cccc} x_1 & y_1-y_4 & z_1-z_4&1 \\ x_2 & y_2-y_4 & z_2-z_4&1 \\ x_3 & y_3-y_4 & z_3-z_4&1\\ x_4&0&0&1 \end{array} \right| $$ Haciendo lo mismo, es decir, multiplicando por $y_4$ y $z_4$ y añadiendo a la segunda y tercera columna llegamos a $$ d= \left|\begin{array}{cccc} x_1 & y_1 & z_1&1 \\ x_2 & y_2 & z_2&1 \\ x_3 & y_3 & z_3&1\\ x_4&y_4&z_4&1 \end{array} \right| $$

Eso demuestra la afirmación.

Ahora la respuesta es obvia ya que el volumen es nulo si los cuatro puntos son coplanares.