Aproximación lineal $y= \ln(1+x)$ para un x pequeño

Question

¿Cómo puedo demostrar con una aproximación lineal que $y \approx x$ ¿para la pequeña x? Conozco la regla $$f(x) \approx f(a) + f^{\prime}(a) (x-a),$$ pero no sé cómo ponerlo en práctica en este caso.

Answer 1

La función que se intenta aproximar es $$ f(x) = \ln(x) $$ y se necesita una aproximación en torno a $a = 1$ .

Para la regla necesitamos la derivada de la función, y conozca que la derivada del logaritmo natural es la inversa: $$ f'(x) = \frac1x. $$

Evaluemos tanto la función como la derivada en $a = 1$ , $$ f(a) = \ln(1) = 0 \quad \text{and} \quad f'(a) = \frac11 = 1, $$ y aplicar la regla.

$$ f(x) \approx f(a) + f'(a) (x-a) \quad \text{for} ~ x \approx a $$ significa $$ \ln(x) \approx 0 + 1 (x - 1) = x - 1 \quad \text{for} ~ x \approx 1 $$ o $$ \ln(x + 1) \approx x \quad \text{for} ~ x \approx 0. $$

También podríamos haber elegido directamente $f(x) = \ln(1 + x)$ y $a = 0$ Al precio de un cálculo un poco más difícil de la derivada, pero por supuesto con el mismo resultado.

Answer 2

Así que sabemos que la línea tangente se verá como $y-y_1=m(x-x_1)$ y queremos $y-0=1\cdot(x-0)$ .
Como queremos que nuestra línea pase por $(0,0)$ Digo que encuentre la línea tangente en $x=0$ .

Answer 3

Estás viendo el primer grado Serie Maclaurin de $\ln{(1+x)}$