Encontrar $\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n}\sqrt[n]{\frac{(2n)!}{n!}} $ utilizando la integral de Riemann

Question

Se preguntan cómo determinar este límite por el uso de la integral de Riemann. El límite es la siguiente:

$$\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n}\sqrt[n]{\frac{(2n)!}{n!}} $$

Mi instructor me dijo que el uso de la integral de Riemann da resultado espectacular. Comprueba Rudin, pero no se encontró referencias valiosas.

Estoy muy interesado en ver cómo emana este "resultado espectacular".

Soluciones de consejos de ayuda muy apreciada!

Answer 1

Sugerencia: aparecen tomar el logaritmoy tratar de hacer algo así como $\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n f\left(\frac{k}{n}\right)$ $f\colon x\in[0,1] \mapsto \ln (1+x)$. Usted encontrará % límite $\ell$logaritmo de la cantidad, y luego por la continuidad de $\exp$ su respuesta será $e^\ell$.

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Detalles. Tomando el logaritmo,

$$\begin{align} \ln \sqrt[n]{\frac{(2n)!}{n!}} &= \frac{1}{n} \ln \frac{\prod_{k=1}^{2n} k}{\prod_{k=1}^n k} = \frac{1}{n} \ln \prod_{k=n+1}^{2n} k = \frac{1}{n} \sum_{k=n+1}^{2n} \ln k\\ &= \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \ln (k+n) = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \ln \left(1+\frac{k}{n}\right) + n\frac{\ln n}{n} \end {Alinee el} $$ para que el logaritmo de la cantidad original es $$ \begin{align} \ln \frac{1}{n}\sqrt[n]{\frac{(2n)!}{n!}} &= - \ln n + \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \ln \left(1+\frac{k}{n}\right) + n\frac{\ln n}{n} = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \ln \left(1+\frac{k}{n}\right) \end{Alinee el} $$

¿Puedes ver cómo usar sumas de Riemann ahora?

Answer 2

Aplicando la fórmula de Stirling, $n! \displaystyle\operatorname*{\sim}_{n\to\infty} \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n$, obtuve el resultado $\frac{4}{e}$.

Answer 3

Voy a repetir básicamente el mismo enfoque que en esta respuesta: Límite de $\lim\limits_{n\to \infty} \sqrt [n]{\frac{(3n)!}{n!(2n+1)!}} $ es también el mismo enfoque, como se sugiere en Paramanand Singh comentario. (Veo que el OP pregunta específicamente acerca de una prueba utilizando la integral de Riemann, pero esto parece lo suficientemente interesante como para ser mencionado, también.)

Vamos a utilizar este hecho (ver los enlaces de respuesta para las referencias):

Deje $(a_n)$ ser una secuencia de números reales positivos. Si $\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=L$, $\sqrt[n]{a_n}$ converge demasiado y $\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=L$.

Utilizamos el anterior para $a_n = \frac{(2n!)}{n!n^n}$ y obtenemos $$\lim\limits_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim\limits_{n\to\infty} \frac{(2n+1)(2n+2)}{(n+1)^2}\cdot\left(\frac{n}{n+1}\right)^n = \frac4e.$$

Esto implica que también $$\lim\limits_{n\to\infty} \frac1n\sqrt[n]{\frac{(2n)!}{n!}} = \lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{a_n} = \frac4e.$$