Elie Cartan realizó contribuciones fundamentales a la teoría de los grupos de Lie y a sus aplicaciones geométricas. Entre ellas, podemos enumerar la introducción de la notable familia de espacios simétricos de Riemann y sus cuatro artículos que revolucionaron la teoría de las hipersuperficies isoparamétricas.
¿Cómo es que Cartan no se dio cuenta de la estrecha relación entre los espacios simétricos y las hipersuperficies isoparamétricas?
A partir de 1926, Cartan desarrolló su teoría de espacios simétricos y publicó artículos entre 1927 y 1935. Él introdujo por primera vez como variedades riemannianas con tensor de curvatura paralelo, con el nombre de "espaces $\mathcal E$ ". Entonces se dio cuenta de que una definición equivalente, más geométrica, es exigir que la geodésica simétrica alrededor de cualquier punto es una isometría y, hacia 1929, cambió su nombre a "espaces symetriques". La segunda definición implica que un espacio simétrico es un espacio homogéneo $G/K$ y hay una descomposición $\mathfrak g=\mathfrak k+\mathfrak p$ en los eigenspaces de una involución inducida por conjugación por la simetría geodésica en el punto base. La acción adjunta de $K$ en $\mathfrak p$ es equivalente a la representación lineal representación isotrópica del espacio simétrico . El rango de $G/K$ es la dimensión de un plano máximo, y coincide con la codimensión de las órbitas principales de esta representación.
Hipersuperficies isoparamétricas en formas espaciales son hipersuperficies con las invariantes locales más simples, es decir, tienen curvaturas principales constantes. Existían antes de Cartan, pero entre 1937 y 1940 publicó cuatro artículos que revolucionaron completamente el campo. Entre otras cosas, demostró que las hipersuperficies isoparamétricas en esferas es un tema mucho más interesante que en espacios euclidianos o hiperbólicos. Denotemos por $g$ el número (constante) de curvaturas principales. Los casos iniciales no son muy interesantes; en una esfera $S^{n+1}$ una hipersuperficie isoparamétrica con $g=1$ es una esfera umbilical, y con $g=2$ es el producto estándar de dos esferas. Cartan demostró que en el caso $g=3$ hay exactamente cuatro ejemplos, de dimensión $n=3d$ donde $d=1$ , $2$ , $4$ o $8$ es la multiplicidad uniforme de las curvaturas principales, cada una relacionada con una incrustación de un plano proyectivo sobre una de las álgebras de división normada $\mathbb R$ , $\mathbb C$ , $\mathbb H$ , $\mathbb O$ . Señala que esos ejemplos son todos homogéneos y determina sus grupos de isometría; en particular, se complace con la aparición del grupo excepcional $F_4$ el caso $n=24$ , "(...) la primera aparición de la simple $52$ -de un grupo de dimensiones en un problema geométrico (...)"; este grupo ya había aparecido en su clasificación de los espacios simétricos. Más tarde Cartan discute el caso $g=4$ y muestra que sólo hay dos ejemplos en los que las multiplicidades de las curvaturas principales son todas iguales, a saber, una en $S^5$ y una en $S^9$ .
Cartan termina su tercer trabajo sobre el tema ( Sobre algunas familias notables de hipersuperficies C. R. Congres Math. Lieja (1939), 30-41. También en: Oeuvres Completes, Partie I11, Vol. 2, 1481-1492.) con tres preguntas, una de las cuales se refiere a si existen hipersuperficies isoparamétricas en esferas con $g>3$ tal que las multiplicidades de las curvaturas principales son desiguales. En 1971, Hsiang y Lawson publicaron un artículo ( Submanifolds mínimos de baja cohomogeneidad J. Differential Geom. 5 (1971), 1-38.) incluyendo una clasificación de subgrupos (máximos) de $SO(n+2)$ cuyas órbitas principales tienen cohomogeneidad $1$ en $S^{n+1}$ y observó que precisamente coinciden con las representaciones lineales de isotropía de los espacios simétricos de rango dos. En 1972, Takagi y Takahashi ( Sobre las curvaturas de principio de las hipersuperficies homogéneas en una esfera (Geometría diferencial, en honor de K. Yano, Kinokuniya, Tokio (1972), 469--481). observó que el resultado de Hsiang-Lawson da lugar a una clasificación de las hipersuperficies homogéneas homogéneas e isoparamétricas en esferas y calcularon sus invariantes; en particular, encontraron ejemplos con $g=4$ y desiguales multiplicidades.
La relación es que las órbitas principales de las representaciones lineales de isotropía de espacios simétricos de rango dos (resp. de rango arbitrario) dan hermosos ejemplos de hipersuperficies (resp. submanifolds) isoparamétricas en esferas.
Esta relación es relativamente fácil de explicar hoy en día. Cartan era el maestro de ambos temas a finales de los años 30. ¿Hay algo interesante que se pueda sobre la situación de la geometría diferencial y la teoría de grupos de Lie en que le impidiera captar esta conexión?
