Solución de Kruskal al agujero negro

Question

Para eliminar la singularidad en el horizonte pasamos del sistema de coordenadas de Schwarzchild al de Eddington Finkelstein. Nuestras geodésicas nulas entrantes se convierten entonces en líneas rectas. Luego pasamos a la solución de Kruskal, donde tanto las geodésicas nulas entrantes como las salientes son líneas rectas. ¿Hay algún problema en el sistema de coordenadas E-F? Porque al hacer una transformación definimos el parámetro de tiempo avanzado y retardado que explica muy bien nuestra geometría del espaciotiempo. ¿Por qué pasamos a las coordenadas de Kruskal?

¿Con respecto a qué observador se definen las coordenadas de Kruskal? ¿Se trata del observador que entra radialmente en el agujero negro o de un observador que se encuentra a gran distancia del agujero negro?

Dada una métrica descrita en un determinado sistema de coordenadas, ¿con respecto a qué observador se definen las coordenadas?

Answer 1

La métrica de Schwarzschild es una solución de las ecuaciones de Einstein, dada por $$ ds^2 = -f(r)dt^2+ \frac{dr^2}{f(r)} + r^2d\Omega^2 $$ donde $f(r) = (1 -\frac{2M}{r}) $ . Aquí M es un parámetro, que puede ser la masa de una estrella o de un agujero negro. La métrica anterior describe la vacío región fuera de una fuente esférica y no es aplicable en una región ocupada por una fuente (como una estrella o un agujero negro).

Si el radio de la fuente es menor que $2M$ entonces tenemos un problema. Esta métrica debería ser válida cerca de la región $r = 2M$ pero llegamos a una singularidad como $f(2M) = 0$ .

Afortunadamente, esta singularidad es una singularidad de coordenadas solamente, en el sentido de que surge debido a nuestra mala elección de coordenadas. (A diferencia de la singularidad en $r = 0$ ). Entonces, para eliminar esta singularidad ficticia vamos a las coordenadas de Eddington Finkelstein que mencionaste.

Estas coordenadas no plantean ningún problema en particular, y sirven para el propósito para el que fueron inventadas. Pero estas coordenadas son incompleto en cierto sentido y puede extenderse a la Kruskal-Szekeres coordenadas. Este proceso se llama extensión de la métrica, y en este caso la nueva métrica es una extensión máxima es decir, no se puede ampliar esta métrica.

Esto es muy similar al caso de la ampliación del Coordenadas Rinder a las coordenadas inerciales habituales de Minkowski. Las coordenadas de Rindler describen a un observador que acelera, y la métrica tiene una singularidad ficticia. Cuando transformamos las coordenadas de Rindler en coordenadas inerciales, una observación clave que hay que hacer es que el espaciotiempo se ha "duplicado". Las coordenadas de Rindler sólo cubrían la cuña derecha y la cuña futura del espaciotiempo de Minkowski. Por tanto, las coordenadas de Rindler son incompletas para describir la estructura completa del espaciotiempo plano, y hay que ampliar las coordenadas.

Esto explica tu pregunta de por qué utilizamos las coordenadas de Kruskal: son la máxima extensión de las coordenadas de Schwarzschild.