El conjunto de $n\times n$ se pueden identificar las matrices con $\mathbb{C}^{n^2}$ .
1) Considere el subconjunto $V$ del espacio afín $\mathbb{A}^{n^2+1}$ (nota más uno) dada por $$V:=\{(x_{ij},t): \det(x_{ij})\cdot t-1=0\}$$ Se trata de un subconjunto algebraico, en efecto $V=V(f)$ donde $f=\det(x_{ij})\cdot t-1\in\mathbb{C}[x_{ij},t]$ . A continuación, considere el mapa $\phi:GL(n;\mathbb{C})\longrightarrow V$ enviando la matriz $(a_{ij})$ a la $(n^2+1)$ -tupla $(a_{ij},\frac{1}{\det(a_{ij})})$ . Se trata de una biyección, por lo que $GL(n;\mathbb{C})$ también algebraico .
2) $GL(n;\mathbb{C})$ es el complemento de la variedad algebraica en $\mathbb{C}^{n^2}$ definida por la desaparición del polinomio determinante, por lo que es abierta en la topología euclidiana. Como toda variedad algebraica afín en $\mathbb{C}^n$ es cerrado en la topología euclidiana, podemos concluir que el grupo lineal general es no un algebraico variedad.
Entonces, ¿qué debo argumentar a partir del razonamiento anterior?
1) $GL(n;\mathbb{C})$ es algebraico
2) $GL(n;\mathbb{C})$ no es algebraico
3) Es un hecho común que algunos subconjuntos pueden ser algebraicos en un espacio afín y no algebraicos en un espacio afín de diferente dimensión, por lo que tanto 1) como 2) pueden ser correctos.
