Conexión en el paquete tautológico sobre $\mathbb{C}P^1$ .

Question

Estoy tratando de calcular la clase Chern del haz $$\gamma = \{(c,\ell): c \in \ell \} \subseteq \mathbb{C}^2 \times \mathbb{C}P^1$$ en $\mathbb{C}P^1$ . Me encuentro con un problema al definir una conexión afín en este paquete.

¿Algún consejo? Hasta ahora he tratado de usar el paquete $\mathbb{C}^2 \times \mathbb{C}P^1$ . No veo una forma natural de tomar una derivada de una sección de este haz sobre $\mathbb{C}P^1$ .

Y sí, este cálculo es fácil mediante un argumento topológico, pero me interesa el cálculo de Chern-Weil.

Answer 1

$\newcommand{\dd}{\partial}\newcommand{\Cpx}{\mathbf{C}}\newcommand{\Proj}{\mathbf{P}}$ El espacio total del haz tautológico está contenido en el rango dos haz trivial $\Cpx\Proj^{1} \times \Cpx^{2}$ y la estructura hermitiana estándar en $\Cpx^{2}$ induce una métrica hermitiana $h$ en $\gamma$ dado en un gráfico afín por $$ h(z) = 1 + |z|^{2}, $$ la magnitud al cuadrado de la sección holomórfica local $(z, 1)$ .

La forma de conexión de Chern es $$ \dd \log h = \frac{\bar{z}\, dz}{1 + |z|^{2}}, $$ y la curvatura, que representa $2\pi c_{1}(\gamma)$ es $$ -i\, \dd \bar{\dd} \log h = -i\frac{dz \wedge d\bar{z}}{(1 + |z|^{2})^{2}}. $$ Integrar sobre el gráfico afín (denso) $\Cpx$ en coordenadas polares muestra que la curvatura total es $-2\pi$ que muestra $c_{1}(\gamma)$ es el generador negativo de la segunda cohomología.