Conexión en el haz tautológico sobre $\mathbb{C}P^1$.

Question

Estoy tratando de calcular la clase de Chern del haz $$\gamma = \{(c,\ell): c \in \ell \} \subseteq \mathbb{C}^2 \times \mathbb{C}P^1$$ sobre $\mathbb{C}P^1$. Me encuentro con un problema al definir una conexión afín en este haz.

¿Alguna sugerencia? Hasta ahora he intentado usar el haz $\mathbb{C}^2 \times \mathbb{C}P^1$. No veo una forma natural de derivar una sección de este haz sobre $\mathbb{C}P^1$.

Y sí, este cálculo es fácil a través de argumentos topológicos, pero estoy interesado en el cálculo de Chern-Weil.

Answer 1

$\newcommand{\dd}{\partial}\newcommand{\Cpx}{\mathbf{C}}\newcommand{\Proj}{\mathbf{P}}$El espacio total del haz tautológico está contenido en el haz trivial de rango dos $\Cpx\Proj^{1} \times \Cpx^{2}$, y la estructura Hermitiana estándar en $\Cpx^{2}$ induce una métrica Hermitiana $h$ en $\gamma$, dada en una carta afín por $$ h(z) = 1 + |z|^{2}, $$ el módulo al cuadrado de la sección local holomórfica $(z, 1)$.

La forma de conexión de Chern es $$ \dd \log h = \frac{\bar{z}\, dz}{1 + |z|^{2}}, $$ y la curvatura, que representa $2\pi c_{1}(\gamma)$, es $$ -i\, \dd \bar{\dd} \log h = -i\frac{dz \wedge d\bar{z}}{(1 + |z|^{2})^{2}}. $$ Integrar sobre la carta afín (densa) $\Cpx$ en coordenadas polares muestra que la curvatura total es $-2\pi$, lo que muestra que $c_{1}(\gamma)$ es el generador negativo de la segunda cohomología.