Pregunta sobre una notación. Norma de la derivada de una función en un punto

Question

Dada es una función analítica de $M$ a $N$ , ambos equipados con una métrica riemanniana conforme, digamos $g$ y $h$ resp.

¿Qué podría hacer el $h$ norma de la derivada de la función en un punto significa?

$\|f'(x)\| $ con respecto a la $h$ métrica.

Gracias

ADD:

Se utilizó en este contexto:

d(x,y) < d(f(x),f(y)), ambos definidos por la misma métrica, x,y,f(x),f(y) están en el mismo espacio. Y la conclusión es que f se expande, o $\|f'(x)\| $ > 1 con respecto a esta métrica

Answer 1

El contexto dado deja claro que están hablando de la norma del operador . En este contexto, se puede definir como $$ \|f'(x)\|=\sup\sqrt{\frac{h(f'(x)u,f'(x)u)}{g(u,u)}}, $$ el supremum tomado sobre todos los vectores tangentes no nulos $u$ en $x$ .

Answer 2

Si por $f'$ nos referimos al diferencial $\mathrm{d}f$ de la función $f$ y, a continuación, utilizando una métrica, digamos $h$ podemos "convertir" el $1$ -forma $\mathrm{d}f$ en un vector $\nabla f$ el gradiente de $f$ y, por lo tanto, considerar el valor $\mathrm{d}f(\nabla f)$ .

Por definición, $\| f'\|_h := \sqrt{\mathrm{d}f(\nabla f)}$ .

Utilizando la notación de índice abstracto, esto se puede decir de una manera un poco más transparente: $$ \| f'\|_h := \sqrt{h^{a b}(\nabla_a f)(\nabla_b f)} $$

Otra forma de ver esta cantidad es $\| \mathrm{d}f \|^2_h = h^{-1}(\mathrm{d}f ,\mathrm{d}f) = \langle \nabla f , \nabla f \rangle_h$ .