Continuidad en la media: $\lim_{y \to 0}\int_{\mathbb{R}^d}|f(x+y)-f(x)|dx=0$

Question

Dejemos que $f \in L_{\mathbb{R}^+}^1(\mathbb{R}^d,\mathcal{B}(\mathbb{R}^d),\lambda_d).$ Considere la secuencia $f_k=\min(f,k)\min(1,\max(0;k+1-|x|))$ para mostrar la continuidad en la media: $$\lim_{y \to 0}\int_{\mathbb{R}^d}|f(x+y)-f(x)|dx=0.$$ Este resultado sigue siendo cierto si tomamos una medida de Radon sobre $(\mathbb{R}^d,\mathcal{B}(\mathbb{R}^d))$ ?

¿Es correcto el siguiente intento?

Dejemos que $\phi_k(x)=\min(1,\max(0;k+1-|x|)),$ $\phi_k$ es continua con soporte compacto. Sea $(y_n)_n$ sea una secuencia que converge a $0,$ por lo que existe $n_0$ tal que para todo $n \geq n_0,|y_n| \leq 1$

$$\int_{\mathbb{R}^d}|f(x+y_n)-f(x)|dx \leq2 \int_{\mathbb{R}^d}|f_k(x)-f(x)|dx+\int_{\mathbb{R}^d}|f_k(x+y_n)-f_k(x)|dx$$ Así que, $$\int_{\mathbb{R}^d}|f(x+y_n)-f(x)|dx \leq2 \int_{\mathbb{R}^d}|f_k(x)-f(x)|dx+k\int_{\mathbb{R}^d}|\phi_k(x+y_n)-\phi_k(x)|dx$$ tomando $\limsup_n,$ tenemos $\int_{\mathbb{R}^d}|\phi_k(x+y_n)-\phi_k(x)|dx \to 0$ utilizando el teorema de convergencia dominada (ya que $\phi_k$ son continuas con soporte compacto),

luego tomar $k \to \infty$ y utilizando de nuevo el teorema de convergencia dominada, concluimos que $$\lim_n \int_{\mathbb{R}^d}|f(x+y_n)-f(x)|dx=0$$

Answer 1

¡Ayudaría saber en qué nivel estás para saber qué nivel de detalle sería bueno para comentar esto!

A mí me parece bien, pero aquí hay algunas sugerencias. Si se le permite es mucho más rápido sólo utilizar la densidad de las funciones continuas con soporte compacto son densos en $L^1$ . Sin embargo, usted ha demostrado esencialmente esto usando su $\phi$ funciones. En segundo lugar me gustaría aclarar algunos puntos, tu primera desigualdad integral podría tener una línea intermedia más y cuando usas la convergencia dominada al final no está claro qué límite estás haciendo primero estás enviando $k$ hasta el infinito primero y luego $n$ o al revés. Un camino lleva a un horrible lío y el otro está bien.

De todos modos buen trabajo me parece bien matemáticamente.