¿Cómo utilizar las funciones generadoras para sumar parcialmente múltiples secuencias de enteros?

Question

Digamos que quiero encontrar la siguiente suma doble $$ \sum_{k=1}^mk\sum_{n=1}^kn={1\over24}m(1+m)(2+m)(1+3m) $$ pero utilizando una función generadora para las sumas implicadas. La función generadora de polinomios para $\sum_{n=1}^kn$ es simplemente $$ F(x)=\sum_{n=1}^knx^n={x+x^{1+k}(kx-k-1)\over (x-1)^2} $$ y de forma similar para la otra suma (presumiblemente con una variable diferente, digamos $y$ ). Pero, ¿cómo puedo combinar las dos funciones generadoras para poder tomar un límite $x,y\to1$ para obtener la suma parcial? No me parece una convolución.

Answer 1

En realidad es "fácil". La segunda función generadora es simplemente $$ G(x,y)=\sum_{k=1}^mkF(x)y^k=\sum_{k=1}^mk\frac{x+x^{k+1} (k x-k-1) }{(x-1)^2}y^k $$ dando lugar a una complicada expresión que no puedo pegar. Obtenemos el resultado correcto al tomar el límite $x,y\to1$ .