Curvas deformantes en Calabi-Yaus

Question

Lo que busco es una especie de "teorema de Bertini" para las curvas. Sea $X$ sea una variedad de Calabi-Yau y sea $C$ sea una unión de curvas racionales en $X$ . ¿Existen técnicas o resultados que me permitan concluir que (quizás algún múltiplo de) $C$ puede deformarse en una curva irreducible?

Edición: Estoy buscando condiciones en $C$ para que se mueva. Por ejemplo, si $C$ es un divisor en un K3, y $C^2>0$ , entonces un elemento general en el sistema lineal de alguna potencia es suave por la Bertini habitual.

Answer 1

Si las curvas son amplias (es decir, los haces normales son $\oplus_i\mathcal{O}(k_i)$ con todos los $k_i>0$ ), se pueden deformar a una suave (véase Kollar, Curvas racionales). Por supuesto, esto no puede ocurrir en Calabi-Yau. Sin embargo, si ambas curvas se encuentran dentro de una parte suave de la variedad racional conexa $Z$ y son amplios en $Z$ tienen una deformación suave en el interior $Z$ .