Tengo una pequeña pregunta sobre las integrales de línea complejas. Doy un ejemplo para demostrar lo que es mi pregunta. Consideremos la integral
$$\int_{|z|=2}\frac{1}{z-1}dz.$$ Si quiero calcular esta integral, ¿puedo tomar el camino $f:[0,2\pi]\to \mathbb{C},\; f(t)=1+2e^{rit}$ para calcular la integral? No estoy seguro de poder tomar este camino, porque no está centrado en cero, es decir, no es una parametrización de $|z|=2$ . Con este camino consigo:
$$\int_{|z|=2}\frac{1}{z-1}dz=\int_0^{2\pi}\frac{1}{2e^{rit}}2ire^{rit}dt=ir2\pi$$ si no me he equivocado.
Una comparación con la fórmula Cauchy-Integral:
me da $$\int_{|z|=2}\frac{1}{z-1}dz=\int_0^{2\pi}\frac{1}{2e^{rit}}2ire^{rit}dt=i2\pi$$ que no es lo mismo. Pero tal vez me equivoqué en el cálculo. Es $f$ una posible elección para un camino o tiene que f estar centrado en cero y tiene que ser una parametrización de la frontera de $D=\{z\in\mathbb{C}: |z|\le 2\}$ ?
