¿Existe una prueba real del Principio de Incertidumbre de la energía-tiempo?

Question

Según tengo entendido, el principio de incertidumbre energía-tiempo no puede derivarse de la relación de incertidumbre generalizada. Esto se debe a que el tiempo es una variable dinámica y no un observable en el mismo sentido que el momento.
Todos los libros de pregrado sobre QM que he encontrado han dado una "prueba" muy aproximada de la relación de incertidumbre tiempo-energía, pero no algo que sea riguroso, o algo remotamente cercano a ser riguroso.
Entonces, ¿hay una prueba real para ello? Si es así, ¿podría alguien proporcionarme un enlace a la misma o incluso proporcionarme una prueba? Hay que tener en cuenta que no estoy buscando una prueba que utilice los principios de la mecánica cuántica, como señalan los comentarios más abajo.

EDIT: Todas las pruebas que he encontrado toman la relación de incertidumbre generalizada y dicen "dejemos $=_q/|dq/dt|$ ", cf. por ejemplo ce post de Phys.SE. Pero esto para mí no es suficiente como una prueba rigurosa. La gente le da un significado preciso, pero la relación se demuestra sólo con la definición, así que sólo busco una prueba (si hay alguna) que muestre ese significado a través de las matemáticas. Si no existe una prueba mejor, que así sea. Entonces me conformaré con la prueba a través de la cual definimos esa cantidad. Al definirla de esta manera, hay espacio para la interpretación, y esto se muestra en los múltiples significados que los investigadores han dado a esa cantidad (todos relacionados con el tiempo, por supuesto).

Answer 1

El principal problema es, como dices, que el tiempo no es un operador en la mecánica cuántica. Por lo tanto, no hay valor de expectativa ni varianza, lo que implica que hay que decir qué $\Delta t$ se supone que significa, antes de poder escribir algo como $\Delta E \Delta t\geq \hbar$ o similar.

Una vez que defina lo que quiere decir con $\Delta t$ , las relaciones que se parecen a las relaciones de incertidumbre se pueden derivar con todo el rigor matemático que se quiera. La definición de $\Delta t$ debe provenir, por supuesto, de la física.

Por supuesto, la gente ve $\Delta t$ no como una incertidumbre, sino como una especie de duración (véanse, por ejemplo, los famosos anchos de línea naturales, para los que estoy seguro de que existen derivaciones rigurosas). Por ejemplo, se pueden hacer las siguientes preguntas:

• Dada una señal de longitud temporal $t$ (se necesita $t$ de "no hay señal" a "la señal ha llegado completamente"), ¿cuál es la varianza de la energía/momento? Esto se puede relacionar con el principio de incertidumbre habitual, porque la longitud temporal no es más que una dispersión en el espacio de posición. También está relacionado con el llamado Principio de incertidumbre de Hardy que no es más que el principio de incertidumbre de Fourier disfrazado y completamente riguroso.

• Si realiza una medición de energía, ¿puede relacionar la duración de la medición y la incertidumbre energética de la misma? Esto es muy problemático (véase, por ejemplo, la revisión aquí: La relación de incertidumbre tiempo-energía . Eligiendo un modelo de medición, probablemente se puedan derivar límites rigurosos, pero no creo que un límite riguroso sea realmente útil, porque ningún modelo de medición captura probablemente todo lo que es posible en los experimentos.

• Se puede hacer la misma pregunta sobre el tiempo de preparación y la incertidumbre energética (ver la reseña).

• Se puede preguntar: dado un estado $|\psi\rangle$ ¿cuánto tiempo tarda un estado en evolucionar hacia un estado ortogonal? Resulta que existe una relación de incertidumbre entre la energía (dada a partir del Hamiltoniano de la evolución temporal) y la duración - es la relación Mandelstamm-Tamm a la que se refiere la otra pregunta. Esta relación puede hacerse rigurosa ( este documento aquí podría dar una derivación tan rigurosa, pero no puedo acceder a ella).

• otras ideas (ver también la reseña)...

En otras palabras: Primero tienes que decirme qué $\Delta t$ es decir. Entonces tienes que decirme qué $\Delta E$ se supone que significa (se podría argumentar que esto está claro en la mecánica cuántica). Sólo entonces se puede plantear con sentido la cuestión de la derivación de una relación de incertidumbre energía-tiempo. El principio de incertidumbre generalizado hace precisamente eso, te dice que la $\Delta$ Las cantidades son variantes de los operadores, por lo que tiene una pregunta bien definida. Los libros que está leyendo parecen ofrecer sólo heurística física de lo que $\Delta t$ y $\Delta E$ significa en circunstancias especiales, por lo que es imposible una derivación matemáticamente rigurosa. Pero eso no es un problema en sí mismo, porque la heurística puede ser muy potente.

Estoy a favor de pedir pruebas rigurosas cuando la pregunta subyacente se puede plantear de manera rigurosa, pero dudo que ese sea el caso aquí para una relación de incertidumbre universalmente válida, porque dudo que una definición universalmente válida de $\Delta t$ se puede dar.

Answer 2

Este es el caso. La relación de la incertidumbre con la energía y el tiempo es una cuestión de análisis de Fourier. De hecho, la relación $\Delta\omega\Delta t \simeq 1$ era conocido en la EM clásica y en la ingeniería eléctrica antes de la física cuántica. El uso del análisis de Fourier en la ingeniería eléctrica tenía la misma relación de incertidumbre que la relación recíproca entre la frecuencia y el tiempo.

La mecánica clásica tiene relaciones de corchetes de Poisson entre el momento y la posición, y la mecánica cuántica tiene un operador de sustitución de estos $$ \{q, p\} = 1~\rightarrow~[q, p] = i\hbar. $$ En la mecánica hamiltoniana no hay corchetes de Poisson entre el tiempo y la energía. En la mecánica cuántica no hay por corolario, usando la palabra de manera informal, ningún operador de tiempo. Esto conduce a algunas complejidades interesantes con la mecánica cuántica relativista y la teoría cuántica de campos.

La mecánica cuántica es una mecánica ondulatoria, y la base analítica de Fourier para la incertidumbre tiempo-energía es "suficientemente buena" para aceptarla. La base física de la incertidumbre energía=tiempo es lo suficientemente fuerte como para aceptarla. Sólo tenemos alguna situación distinguible entre espacio y momento frente a tiempo y energía. En cierto sentido esto es una marca contraria a la idea einsteiniana.

Answer 3

Respuesta corta: la incertidumbre de posición y momento existe porque sus operadores no conmutan. Del mismo modo, los operadores de tiempo y energía no conmutan.

Respuesta más larga: Primero: La física es una ciencia empírica, por lo que la "prueba" debe ser un experimento. A veces se permiten los experimentos mentales porque son útiles para construir y probar modelos. Las pruebas matemáticas no son pruebas físicas.

La síntesis en física implica la construcción de modelos (normalmente modelos matemáticos) para explicar el comportamiento observado. En la QM estos edificios intelectuales han avanzado bastante.

Dentro de los contextos de esos modelos matemáticos para la QM, yo señalaría lo siguiente:

1) El "estado" de un sistema QM está representado por una "función de onda", \psi cuya amplitud da información sobre los resultados esperados de los experimentos.

2) Varias observaciones se ven como operadores en las funciones de onda. Por ejemplo, la posición es el operador "x". Curiosamente, al construir los modelos, el momento se ha interpretado como " \partial / \partial \Vec (x)", es decir, el gradiente. ¿Por qué? Pues porque explica los experimentos observados. (de nuevo - el estándar de "verdad" o "prueba" o derivación en la física)

3) La predicción de las medidas de los observables es un funcional que actúa sobre la función de onda y el operador. Así, por ejemplo, la expectativa de medir la posición es < \psi |x| \psi > (utilizando la notación bra ket)

4) Relación de incertidumbre posición-momento: observe el operador de momento, P= \partial / \partial \vec (x) no conmuta con el operador de posición. Es decir, Px <> xP de hecho el anticonmutador [P,x] \defined Px - xP = 1 ( cuando se observa que he utilizado unidades donde h-bar = 1 ) Recuerda considerar P y x como operadores y aplicar la regla de la cadena para la diferenciación. Esta anticonmutación de los operadores es, dentro de los modelos construidos sobre QM, la fuente de la relación de incertidumbre. Es decir, no todos los operadores conmutan.

5) Ahora considere el tiempo y la energía. Para poder ser observados, ambos deben ser emitidos como operadores que actúan sobre las funciones de onda. ¿Cuáles son los operadores para el tiempo y la energía? - Sencillo. El operador de tiempo es simplemente la multiplicación por t. El operador de energía se define como \partial / \partial t. --- ¿Ves cómo la relación de incertidumbre energía-tiempo se parece a la relación de incertidumbre posición-momento?

Q.E.D. Bueno, tan cerca como Q.E.D. tiene sentido para la física ya que la física<> las matemáticas. El verdadero crisol viene en cómo esta predicción del modelo matemático utilizado para QM predice y está de acuerdo con el experimento. Y lo hace - muy bien.

Observaciones:

A. En este sentido, no demostramos la incertidumbre E-t a partir de la incertidumbre x-P, sino que utilizamos la arquitectura matemática desarrollada para la QM en general.

B. Que el tiempo sea una variable dinámica es y no es un problema. Si quieres medir el tiempo, debes definir un operador para hacerlo. En ese sentido no es diferente de medir la posición o el espín o la carga o ...

C. El tiempo como variable dinámica "especial" puede eliminarse adoptando un punto de vista langrangiano, pero esa es otra discusión que lleva por el camino de Feynman.

D. La relación de incertidumbre E-t se desprende de forma bastante natural de un enfoque relativista. Cuando los 3 vectores se convierten en 4 vectores, es mejor tener la incertidumbre t-E, de lo contrario Heisenberg se enfadará bastante. Así que, en ese sentido, se podría "derivar" la incertidumbre E-t de la incertidumbre x-P exigiendo un buen comportamiento bajo consideraciones relativistas, pero en mi opinión, señalar simplemente que los operadores no conmutan es un enfoque más básico. (Claramente es un juicio estético intelectual personal, pero creo que compartido por muchos).