Dimensión de $W$ Dónde $W$ es el subespacio de matrices con traza=0

Question

Dejemos que $V$ sea el espacio vectorial de $n*n$ simétrico Y dejemos que $W$ sea el subespacio de $V$ formado por esas Matrices $A$ tal que $tr(A)=0$ . ¿Cuál es la dimensión de $W$ ?

Lo que he observado es que la dimensión de $V$ es $\frac{n^2-n}{2}+n$ (Considerando los posibles acuerdos).
Y cuando se trata del subespacio $W$ ,
Para obtener una base, primero necesitaremos todos los elementos de la base que crean las matrices no diagonales. Así, la base debe tener $\frac{n^2-n}{2}$ elementos (Nótese que el espacio vectorial es simétrico).
Entonces, además de eso, necesitaremos una relación con los elementos diagonales.
Digamos, por ejemplo, que el espacio vectorial de $3*3$ matrices,
$$B=\begin{pmatrix} b_1 & & \\ & b_2& \\ & & b_3 \end{pmatrix}$$ si $B\in W$ entonces $b_1=-b_2-b_3$
Así que la base de $W$ debería tener, $\begin{pmatrix} -1 & 0 &0 \\ 0 & 1&0 \\ 0& 0& 0 \end{pmatrix}$ , $\begin{pmatrix} 0 & 0 &0 \\ 0 & -1&0 \\ 0& 0& 1 \end{pmatrix}$ .
E incluso para un general $n$ conjunto de dimensiones también esto parece correcto. Pero me gustaría una respuesta de una prueba explícita

Answer 1

Tenga en cuenta que $\operatorname{tr}: S_n \to \mathbb{C}$ es lineal y no nula. Por lo tanto, $\dim \ker \operatorname{tr} = \dim S_n -1$ .

Answer 2

La dimensión del espacio de las matrices simétricas es $\frac{1}{2}n(n+1)$ que son los números triangulares. Sólo tienes que dar las entradas en la diagonal principal, y luego el triángulo superior derecho. Ese es el $n$ -enésimo número triangular.

Si lo prefiere: $1+2+3+\cdots+n = \frac{1}{2}n(n+1)$ .

Una vez que las hayas arreglado, el resto de las entradas siguen por simetría.

Si se quiere que la traza sea cero, se impone una vez más la condición de que la dimensión sea $$\frac{1}{2}n(n+1)-1 = \frac{1}{2}(n-1)(n+2)$$

Answer 3

Dejemos que $S_n$ sea el espacio de las matrices simétricas, y sea $T_n$ sea el espacio de las matrices de traza cero.

Sabemos que $\dim(S_n) = \frac{n^2-n}2+n$ y $\dim(T_n) = n^2-1$ . Observe que $S_n + T_n = M_n(\mathbb{R})$ . Esto se debe a que para cada matriz $A \in M_n(\mathbb{R})$ tiene $$A = \frac12(A + A^T) + \frac12(A - A^T)$$ donde el primer sumando es simétrico y el segundo tiene traza cero.

Por lo tanto, tenemos

$$\begin{align}\dim W &= \dim (S_n \cap T_n) \\ &= \dim(S_n) + \dim(T_n) - \dim(S_n + T_n) \\ &= \left(\frac{n^2-n}2+n\right)+(n^2-1)-n^2 \\ &= \frac{n^2-n}2+n-1\\ &= \frac{(n+2)(n-1)}2 \end{align}$$