Integral de Riemann-Stieltjes respecto a una función discontinua

Question

Tengo que encontrar si la función $f(x)=x^2$ es integrable por Rieman-Stieltjes respecto a la función $g(x)=3x$ si $x\in[0,1)$ y $g(1)=4$ . Ahora, porque $f$ es continua y $g$ es de variación acotada, la integral efectivamente existe. Para encontrar el valor de la integral, elegí encontrar la integral:

$$\int_0^1f(x)d(g(x))-\int_0^1f(x)d(3x)$$

Por definición de $g$ esto es:

$$\int_0^1f(x)d(h(x))$$

Dónde $h(x)=g(x)-3x$ Así que $h(x)=0$ para $x\in[0,1)$ y $h(1)=1$

Encontrándolo por definición, si $\epsilon>0$ y elegí la partición $P=\{0,1-\epsilon,1\}$ entonces:

$S(P,f,h)=f(0)(h(1-\epsilon)-h(0))+f(1-\epsilon)(h(1)-h(1-\epsilon))=f(1-\epsilon)=(1-\epsilon)^2$ A partir de aquí, podría concluir que:

$$\int_0^1f(x)d(h(x))=1$$ ¿Es esto correcto? Porque intuitivamente pensé que iba a ser $0$ ¿o he hecho algo mal?

Answer 1

Desde $f$ es creciente, las sumas inferiores y superiores de la partición $\{0,(1- \epsilon),1\}$ son

$$L(P,f,h) = f(0)(h(1-\epsilon) - h(0)) + f(1-\epsilon)(h(1) - h(1-\epsilon))\\=0 \cdot (0 - 0) + (1-\epsilon)^2(1 - 0)= (1-\epsilon)^2, $$

y

$$\\U(P,f,h)= f(1-\epsilon)(h(1-\epsilon) - h(0)) + f(1)(h(1) - h(1-\epsilon)) \\ (1-\epsilon)^2 (0 - 0) + (1)^2(1 - 0)= 1,$$

La integral debe estar entre las sumas inferiores y superiores,

$$(1-\epsilon)^2 \leqslant \int_0^1 f \, dh \leqslant 1$$

Dado que los límites como $\epsilon \to 0$ del LHS y del RHS son ambos $1$ se deduce que la integral tiene un valor de $1$ .

Así,

$$\int_0^1f \, dg = \int_0^1 x^2\, d(3x) + \int_0^1 f \, dh = 3 \int_0^1 x^2 \, dx + 1 = 2$$

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En general, para calcular el valor de la integral con sumas de Riemann-Stieltjes, se debe tomar el límite de una secuencia de sumas correspondientes a particiones $P_n$ con $\|P_n\| \to 0 $ como $n \to \infty$ .

Tomando $P_n = \{0,\frac{1}{n},\frac{2}{n}, \ldots, \frac{n-1}{n},1\}$ tenemos

$$S(P_n,f,g)= \sum_{k=1}^{n-1} \left(\frac{k}{n} \right)^2\left(3\frac{k}{n} - 3\frac{k-1}{n} \right)+ (1)^2 \left(4 - 3\frac{n-1}{n} \right) \\ = \frac{3}{n^3}\sum_{k=1}^{n-1}k^2+ 1 + \frac{3}{n} ,$$

y tenemos

$$\int_0^1 f \, dg = \lim_{n \to \infty}\left(\frac{3}{n^3}\sum_{k=1}^{n-1}k^2+ 1 + \frac{3}{n}\right) = 3\cdot \frac{1}{3} + 1 = 2$$