Encuentra todas las soluciones de números enteros primos de $q^2(p-1)=(p+1)(q+1)$

Question

Dejemos que $p,q$ sean números primos. Encuentra todas las soluciones enteras de: $$q^2(p-1) = (p+1)(q+1)$$

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Estoy casi seguro de que $q=2$ , $p=7$ es la única solución. Así que asumí que $p$ y $q$ eran ambos Impares para llegar a una contradicción, pero hasta ahora no he avanzado por ese camino.

Answer 1

Mostramos cómo resolver un diferentes problema, encontrar el entero soluciones de $q^2(p-1)=(p+1)(q+1)$ . No hay muchos.

Podemos tener $p=1$ que obliga a $q=-1$ . Si $p\ne -1$ entonces $\left|\frac{p+1}{p-1}\right|\le 3$ .

Tenga en cuenta que si $|q|\ge 4$ entonces $\left|\frac{q^2}{q+1}\right|\gt 3$ .

Así que los únicos candidatos para $q$ se encuentran en el intervalo $-3\le q\le 3$ . Pruébalos todos. En cada caso obtenemos una ecuación lineal para $p$ .

Si realmente sólo nos interesan los primos, los únicos números que hay que probar son $q=2$ y $q=3$ .

Answer 2

Estás en el camino correcto asumiendo que $p,q$ son impar.

Este es el paso que puede faltar: si $p>2$ es impar, entonces $(p-1, p+1) = 1$ . Pero $(p+1)$ debe dividir ambos lados de la ecuación. Así que $(p+1)\mid q^2$ . Por lo tanto, $q$ está en paz.

Answer 3

Si asumimos $p,q$ son positivo primos, podemos proceder mostrando primero $q=2$ y luego deducir $p=7$ .

Nota $q-1 = (q^2-1)/(q+1) \lt (p+1)/(p-1)$ . Para cualquier primo positivo $p$ el lado derecho es como máximo 3, por lo que $q$ debe ser inferior a 4. Por lo tanto $q$ es 2 o 3.

Si $q=3$ podemos afinar un poco esta estimación. Dado que $q^2$ divide $p+1$ porque $q$ y $q+1$ son coprimos, pues $q=3$ significaría $p+1$ es un múltiplo de 9. Esto ocurre primero para el primo $p=17$ . En cualquier caso $(p+1)/(p-1)$ sería inferior a 2, por lo que $q \lt 3$ . Esta contradicción implica $q=2$ .

Si se introduce ese valor para $q$ en la ecuación original da rápidamente $p=7$ .

En aras de la exhaustividad, debería examinar si uno o ambos $p,q$ puede ser negativo primos.

Answer 4

$q^2(p−1)=(p+1)(q+1)$

Esto se puede escribir como:

$\frac{q^2}{q+1} = \frac{p+1}{p-1} = 1 + \frac{2}{p-1}$

Es decir, restando 1 a ambos lados,

$\frac{q^2 - q - 1}{q+1} = \frac{2}{p-1}$

Aquí hay dos casos:

1) p = 2. Así que $q^2 - q - 1 = q+1$ . Da: $q^2 - 2q - 2 = 0$ . Es fácil ver que esto no tiene soluciones enteras (sólo hay que resolver la ecuación cuadrática).

2) p es un primo impar. Sea p = 2k + 1.

Entonces $q + 1 = k(q^2 - q - 1)$ . Así que $(q+1)(k+1) = kq^2$ .

Ahora, q y q+1 son coprimos. También lo son k+1 y k. A menos que k o q sean 1, esto sólo puede significar:

$q+1 = k$ y $k+1 = q^2$ Así que $q+2 = q^2$ Resolviendo la cuadrática, q = 2 o q = -1. 'q es primo' nos hace rechazar el caso q = -1. Entonces q = 2. Entonces p = 2k+1 = 2(q+1) + 1 = 7.

Ahora, supongamos que k = 1. Entonces obtenemos: $2(q+1) = q^2$ . Esto también da $q^2 - 2q - 2 = 0$ que no tiene soluciones enteras.

q = 1 da: $2(k+1) = k$ . Esto da k = -1/2, que no es un número entero.

Así que p = 7, q = 2 es la única solución a esto.