Así que tengo la PDE: $$u_t+u\cdot u_x=0$$ Con la condición de auxiliar $u(1,1)=5$ . La pregunta es si se puede encontrar el valor de los puntos en $(2,1), (2,2), (6,2), (4,3), (10,3), (11,3)$ . La forma en que lo hice es que mi profesor pasó por la solución de la Ecuación de Burgers y llegó a una solución: $$u(x,t) = \frac{x-x_0}{t} = g(x_0)$$ Ahora, conecté $(1,1)$ en $u$ para encontrar que $x_0=-4$ . Ahora bien, teniendo en cuenta que $g$ se supone que es creciente, he encontrado que no es posible encontrar un valor para cada punto excepto el primer punto $(2,1)$ y el valor allí es $6$ . ¿He planteado bien esta cuestión? ¿O falta algo en mi explicación?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
La solución de la ecuación de Burgers es constante en las líneas características. Cada línea característica es de la forma $x= x_0+ vt$ donde $v$ es el valor de la solución en esa línea. En concreto, desde $u(1,1)=5$ obtenemos la línea $x = 1 + 5(t-1)$ o simplemente $x=5t-4$ .
De los puntos dados $(x,t)$ , a saber $(2,1),(2,2),(6,2),(4,3),(10,3),(11,3)$ , sólo $(6,2)$ y $(11,3)$ se encuentran en la línea anterior. Así que sabemos que $u$ es igual a $5$ en esos dos puntos, y no sabemos del resto.
Todo esto suponiendo que la línea $x=5t-4$ no choca con una onda de choque (en la que terminan las líneas características).
