Para lo cual $a>0$ hace $\int_a^\infty \frac{\mathrm{d}x}{(x^2-a)^{4a}}$ ¿converger?

Question

Como sugiere el título, necesito ayuda para encontrar $a>0$ para la cual converge la siguiente integral impropia:

$$\int_a^\infty \frac{\mathrm{d}x}{(x^2-a)^{4a}}$$

Así que, al principio, pensé en hacer esto: $$ f(x)=\frac{1}{(x^2-a)^{4a}}$$ Entonces quería encontrar una función $$g(x)$$ tal que $f(x)\leq g(x)$ para cualquier $x\in [a, \infty)$ .

Pensé que podría usar algo como $$g(x)=\frac{1}{(a^2-a)^{4a}}$$

pero no estoy seguro de que funcione.

Así que si pudiera demostrar que $g(x)$ converge para algún $a$ podría afirmar que $f(x)$ también converge.

Corríjanme si me equivoco. Se agradece cualquier ayuda.

Answer 1

Su integral converge al "infinito" si $8a>1$ es decir, $a>\frac{1}{8}.$ Para ver lo que ocurre en los puntos finitos, escribe primero $$\frac{1}{x^2-a}=\frac{1}{x-\sqrt a} \cdot \frac{1}{x+\sqrt a}.$$ La segunda fracción no tiene ningún impacto en la convergencia/divergencia ya que define una función continua acotada en $[0,\infty)$ . Si $\sqrt a<a$ entonces la integral impropia no tiene ninguna singularidad en puntos finitos de donde se deduce que la integral impropia converge definitivamente siempre que $a>1.$ Supongamos ahora $0<a\leq 1$ . Entonces $\sqrt a\geq a$ y en este caso, la condición de que la integral impropia converja en $x=\sqrt a$ es $4a<1.$ De esto se deduce que la integral impropia converge para $a\in (\frac{1}{8},\frac{1}{4})\cup (1,\infty)$ .