Intuición para los gráficos planos

Question

En la sección de teoría de grafos de Categorías bidimensionales por Johnson y Yau, definen un gráfico plano como un gráfico $G$ junto con una incrustación topológica $m_G:|G|\to\mathbb{C}$ de la realización geométrica de $G$ en el plano complejo. Esto se supone que fija un dibujo del gráfico, donde (a menos que me equivoque) queremos que las aristas se crucen entre sí como sea necesario para dibujar el gráfico de la manera que queremos, incluso si estos cruces no están en los vértices. Para la posteridad:

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Definición. A gráfico $G$ es un triplete $(V_G,E_G,\psi_G)$ donde $V_G$ es un conjunto finito llamado conjunto de vértices , $E_G$ es un conjunto finito llamado conjunto de bordes y $\psi_G:E_G\to V_G\times V_G$ es una función llamada función de incidencia . El realización geométrica de $G$ , denotado como $|G|$ es el cociente topológico $$|G|=\Big[\big(\coprod_{v\in V_G}\{v\}\big)\coprod\big(\coprod_{c\in E_G}[0,1]_e\big)\Big]\big/\sim$$ donde $\{v\}$ es un espacio de un punto indexado por un vértice $v\in V_G$ , $[0,1]_e$ es una copia del intervalo unitario indexado por una arista $e\in E_G$ y la identificación $\sim$ es generado por $$u\sim0\in[0,1]_e\ni1\sim v\ \ \ \ \text{if}\ \ \ \ \psi_G(e)=(u,v).$$

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Aquí es donde estoy confundido -- la realización geométrica tiene distintas copias del intervalo unitario para cada arista de $G$ , sólo se pegan en los puntos finales donde las aristas comparten vértices. Si $m_G$ es una incrustación topológica, entonces es inyectiva, por lo que no se permite enviar dos puntos no finales en dos intervalos unitarios separados al mismo punto en $\mathbb{C}$ . Es decir, para $x,y\in(0,1)$ y bordes $e,e'\in G$ tenemos que $$e\neq e'\implies m_G(e,x)\neq m_G(e',y)$$ si $m_G$ es una incrustación. Pero esto impide que haya dibujos en los que las aristas se solapen en puntos que no son vértices, y esto nos impediría incluso tener una realización geométrica para grafos no planos utilizando esta definición, ¿correcto?

Si la observación anterior es correcta, ¿los autores restringen implícitamente la atención a los gráficos planos porque todos los diagramas de pegado tienen gráficos planos subyacentes? ¿Existen diagramas en (bi)categorías, de pegado o no, cuyos gráficos subyacentes no sean planos?

Answer 1

Sí, esta definición se limita a los grafos planos. No estoy seguro de cuál es su motivación para hacerlo (no he leído la mayor parte del artículo), pero imagino que es porque sus teoremas tratan de cómo los diagramas que están considerando interactúan con la topología del plano. Por ejemplo, a partir de un rápido vistazo, el teorema 3.3.7 parece decir que hay una forma coherente de componer 2-morfismos yuxtaponiendo geométricamente los grafos planos apropiados, lo que corresponde a "pegar" las caras de un grafo plano para formar caras más grandes. Esto es específicamente usar la configuración geométrica de las caras para decirte qué 2-morfismos estás componiendo juntos, y por lo tanto no tiene sentido si no tienes un gráfico plano con caras bien definidas. Otra forma de pensar en ello es que lo que ocurre es que estos diagramas no corresponden en realidad a gráficos, sino a complejos poliédricos bidimensionales, y están estudiando el caso especial de que esos complejos poliédricos estén incrustados en el plano. Los gráficos no son más que los esqueletos 1 de estos diagramas bidimensionales.

No es cierto que un diagrama arbitrario de una categoría sea siempre un gráfico plano. Por ejemplo, si se toma un orden lineal de 5 elementos y se dibujan todos sus morfismos no identitarios, se forma un diagrama cuyo gráfico es $K_5$ que no es plana.