¿Cuantas escalas musicales 7 nota son posibles dentro del sistema de 12 Notas?

Question

Esta combinatoria pregunta tiene un musical de motivación, que facilite a continuación, utilizando como poco musical jerga como puedo. Pero primero, voy a presentar una puramente formulación matemática para aquellos que no están interesados en la motivación:

Definir una firma como una 7-tupla del conjunto $\{1,2,3\}$ tal que la suma de los elementos de la tupla es $12$. Dos firmas se dice que son equivalentes si son idénticos o no es una circular de cambio de relación entre ellos (es decir, uno puede ser de forma circular desplazado entre 1 y 6 veces para obtener el otro).

Cuántas firmas únicas que existen?

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La mayoría de los modernos, la música Occidental se basa en el sistema de temperamento igual, que divide la octava logarítmicamente igualmente en 12 notas. Vamos a referirnos a 2 notas adyacentes de estos 12 como "paso 1" de distancia, dos notas con una omite nota entre ellos como "2 pasos" de distancia, y así sucesivamente.

El (posiblemente) más natural es la escala de la escala mayor, que utiliza 7 notas de estos 12, y tiene la siguiente firma:

$$\text{major signature}=(2,2,1,2,2,2,1)$$

Esto significa que podemos construir una escala mayor como sigue: dado cualquier nota para el inicio de la segunda nota es de 2 pasos de distancia desde la primera nota, la tercera nota es de 1 paso de la 2ª nota, y así sucesivamente de acuerdo a la mencionada firma.

Ahora esta firma realmente tiene no sólo una, sino siete escalas incrustado en él. Esto es debido a que se puede circular turno de la firma, de manera efectiva, lo que significa que estamos recogiendo los diferentes grados de la escala mayor para servir como nuestro hogar nota (estos siete "permutaciones" son llamados los modos de la firma). Así, por ejemplo, $(1,2,2,2,1,2,2)$ no es una nueva firma, pero sólo los grandes de la firma circularmente desplazado a la izquierda dos veces (y se llama el modo Frigio).

Mi pregunta es: ¿cuántos único 7-nota de firmas que hay bajo la restricción de que la firma no debe contener un intervalo mayor de 3 pasos (esta es respetar el hecho de que cualquier 7-nota de la escala en uso común utiliza sólo 1, 2 y 3 de paso de los intervalos, al mejor de mi conocimiento).

Algunas firmas de uso común son:

$$\text{harmonic minor signature} = (2,1,2,2,1,3,1)$$ $$\text{melodic minor signature} = (2,1,2,2,2,2,1)$$ $$\text{harmonic major signature} = (2,2,1,2,1,3,1)$$

El número de posibles 7-nota escalas dentro de las 12-nota del sistema es simplemente multiplicando el número de firmas únicas por 7.

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Answer 1

Desde $7$ es primo y no es $7$-nota de la firma que sumas a $12$ todos $7$ pasos idénticos, que no tiene que preocuparse acerca de la periodicidad; podemos dividir por $7$ en la final. Por lo tanto, sólo tenemos que contar el número de maneras de distribuir $12-7=5$ bolas en $7$ contenedores con capacidad de $3-1=2$. Hay $\binom75=21$ formas de $5$ pasos de $2$, $\binom7{1,3,3}=140$ formas de $3$ $2$ $1$ paso de $3$, e $\binom7{2,1,4}=105$ formas de $1$ paso de $2$$2$$3$, para un total de $21+140+105=266$ escalas en $266/7=38$ cíclicamente no equivalentes tipos.

En el presente caso, la inclusión-exclusión iba a ser un poco una exageración, pero ya que usted dijo que le gustaría tener un método que se generaliza a cualquier número de notas con cualquier número máximo de pasos, vamos a generalizar: Para $k$ notas con un máximo de $m$ pasos que se suma a $12$, queremos distribuir $12-k$ bolas en $k$ contenedores con capacidad de $m-1$. Como se explica en Bolas En Recipientes Con Capacidad Limitada, la inclusión-exclusión de los rendimientos de una cuenta de

$$ \sum_{t=0}^{12-k}(-1)^t\binom{12-k}t\binom{12-k+k-tm-1}{12-k-1}=\sum_{t=0}^{12-k}(-1)^t\binom{12-k}t\binom{11-tm}{11-k}\;, $$

donde, contrario a la convención, los coeficientes binomiales negativos superior índice se toma como cero. Para el presente caso de $k=7$, $m=3$, este nuevo rendimientos

$$ \sum_{t=0}^7(-1)^t\binom7t\binom{11-3t}6=\binom{11}6-\binom71\binom86=266 $$

las firmas. Si $k$ no es primo, o si se divide $12$, entonces usted tiene que hacer un poco más para lidiar con la periodicidad; de lo contrario, usted puede dividir el resultado anterior por $k$.

Answer 2

Comenzamos por escribir una lista de las particiones de $12$ (con los números en orden descendente). El restringido particiones de $12$ específicamente en siete partes, con tamaño máximo de la pieza a $3$ son los siguientes:

$3,3,2,1,1,1,1$

$3,2,2,2,1,1,1$

$2,2,2,2,2,1,1$

La lista fue construido con el número de tríos utilizado en la mente. Está claro que otras particiones no coinciden con las condiciones deseadas.

Como estamos contando el número de acuerdos donde cíclicos cambios son irrelevantes, nos damos cuenta de que aquellos que caen en los dos primeros casos, puede ser descrito con respecto a la ubicación de la cantidad que se produce exactamente una vez. Sin pérdida de generalidad, que nos permiten contar el número de estas, donde el número único que se produce en el comienzo.

Hay entonces, $\binom{6}{2}=15$ $\binom{6}{3}=20$ de estos respectivamente

El último caso se puede contar, considerando la distancia más pequeña entre los. La distancia más pequeña es siempre bien $1,2$ o $3$, correspondiente a $(1,1,2,2,2,2,2),(1,2,1,2,2,2,2),(1,2,2,1,2,2,2)$ respectivamente.

Hay, pues, un total de $38$ posible heptatonic escalas.

Answer 3

Aquí hay otro método. Una escala que contiene la tónica, por definición, y 6 de los otros 11 clases de afinación. Hay $\binom{11}{6}=462$ formas para la selección de estos. Como joriki notas, ninguno de estos son modos de transposición limitada, por lo que el número de firmas es $1/7$ de este, es decir,$66$. Pero a partir de estas, se deben eliminar:

• $(6,1,1,1,1,1,1)$
• el $6$ maneras de sustituir $2$ $1$ $(5,1,1,1,1,1,1)$
• el $6$ maneras de sustituir $3$ $1$ $(4,1,1,1,1,1,1)$
• el $\binom{6}{2}=15$ maneras de sustituir $2$, para las dos de la $1$s en $(4,1,1,1,1,1,1)$

dejando $66-1-6-6-15=38$ de las firmas con ningún intervalo mayor que $3$ semitonos.

Answer 4

Tenga en cuenta que existen otras escalas musicales que no sea tan escandalosos como las generadas por combinatoria. Por ejemplo, en blues afro americano, tenemos carencias de medios tonos 3,2,2,3,2. Somwetimes un tritone (media octava) se agrega. Música española se basa en el modo de Creúsa.

Una buena fuente de escalas alternativas es el álbum "DeTwelveulate" por Ivor Darreg. Algunos es agradable, algunos es realmente extraño.