¿Por qué $\operatorname{Proj}(B)$ no contiene ideales que contengan el ideal irrelevante?

Question

Dejemos que $A$ sea un anillo y que $B = \bigoplus_{d\geq 0} B_d$ sea un grado $A$ -En el libro de Liu Geometría algebraica y curvas aritméticas el conjunto $\operatorname{Proj}B$ se define como el conjunto de todos los ideales primos homogéneos de $B$ que no contenga el ideal irrelevante $B_+ =\bigoplus_{d>0} B_d$ .

Esto significa básicamente que no hay que considerar ningún ideal de la forma $I+B_+$ donde $I$ es un ideal primo de $B_0$ que contiene una copia de $A$ ¿Por qué se impone esta restricción?

Answer 1

Razón informal: pensar en el caso $B=A[x_0,\dots,x_n]$ . Entonces $B_+=(x_0,\dots,x_n)$ pero esto ciertamente no dará un punto en $\textrm{Proj }B=\mathbb P^n_A$ . (El punto $(0:\cdots:0)$ no está definido).

Más formalmente, la razón principal es, en mi opinión, el siguiente hecho: para un ideal homogéneo $\mathfrak a\subset B$ , uno tiene $Z(\mathfrak a)=\emptyset$ si y sólo si $\sqrt{\mathfrak a}=B$ o $\sqrt{\mathfrak a}=B_+$ .

Teniendo esto en cuenta, hay dos noticias:

1. Buenas noticias: $Z(-)$ establece (por el hecho anterior) una correspondencia biyectiva similar a la que probablemente encontró con las variedades afines. Más precisamente, los ideales radicales homogéneos en $B$ que no contenga $B_+$ corresponden a conjuntos algebraicos en $\textrm{Proj }B$ . Esto sólo es posible gracias a que excluimos $B_+$ del juego.
2. Malas noticias: la existencia del ideal irrelevante aún puede detectarse en nuestra incapacidad para conseguir un mapa regular $\pi:\textrm{Proj }C\to\textrm{Proj }B$ a partir de un homomorfismo (graduado) de gradación $A$ -algebras $q:B\to C$ . (¡Pudimos hacerlo en el caso afín!) En efecto, si intentamos definir $\pi(\mathfrak p)=q^{-1}(\mathfrak p)$ el lado derecho es un ideal de $B$ que puede contienen el ideal irrelevante $B_+$ aunque $\mathfrak p$ no contenía $C_+$ . Obtenemos un morfismo $\pi:U\to\textrm{Proj }B$ definida como arriba, donde $U\subset \textrm{Proj }C$ es el conjunto de los $\mathfrak p$ tal que $q^{-1}(\mathfrak p)\nsupseteq B_+$ . En particular, se puede observar que, a diferencia de Spec, Proj no es un functor.

Answer 2

Una de las razones que se me ocurren es en el caso cuando $B=k[x_1,\ldots,x_n]$ se quiere la inclusión 1-1 revisando la correspondencia entre conjuntos algebraicos e ideales radicales homogéneos, similar a la del caso afín. $$Y\rightarrow I(Y)$$ con el inverso $$\mathfrak{a}\rightarrow Z(\mathfrak{a})$$ y el pequeño giro que aparece en el caso proyectivo es que el $\emptyset$ corresponde tanto a $B$ y el ideal irrelevante bajo la relación anterior. Por lo tanto, debe ser excluido.