sobre una función no continua y sus derivadas

Question

Empezaré con una función $f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ cuya derivada parcial existe en un punto, pero no es continua en ese punto.

Dejemos que $f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ se define por $f(x)=\begin{cases}1, &\mbox{if}& x=0 &\mbox{or if}& y=0\\ 0, &\mbox{otherwise}& \end{cases}$

porque $f$ es constante en el $x$ y $y$ ejes donde es igual a $1$ , $$\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=0$$ $$\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=0$$ Pero $f$ no es continua en $(0,0)$ porque $\displaystyle \lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}f(x,y)$ no existe.

Ahora mi problema:

si $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ se define por $f(x)=\begin{cases}1, \mbox{if}& x=0 \\ 0, &\mbox{otherwise} \end{cases}$

esta función no es continua pero mi pregunta es: ¿hay una derivada para esta función? Para la función $f :\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}$ es posible porque $x=y=0$ no en el mismo tiempo? ¿Me equivoco?

Gracias:)

Answer 1

Diferenciabilidad (cuando se permite que todas las variables varíen simultáneamente) $\implies$ continuidad. Sin embargo, la diferenciabilidad parcial $\not\implies$ continuidad. Una función multivariante $\mathbf{f}:\mathbb{R}^m\rightarrow\mathbb{R}^n$ es diferenciable si existe una función lineal $\mathbf{J}:\mathbb{R}^m\rightarrow\mathbb{R}^n$ tal que:

\begin{align} \lim_{\mathbf{h}\rightarrow \mathbf{0}} \frac{\mathbf{f}(\mathbf{x}+\mathbf{h}) - \mathbf{f}(\mathbf{x}) - \mathbf{J}(\mathbf{x})\mathbf{h}}{||\mathbf{h}||_2} &= 0 \end{align}

Tenga en cuenta que la dirección de aproximación $\mathbf{h}\rightarrow \mathbf{0}$ no se ha especificado, y el límite anterior debería existir para todas las direcciones posibles. En el caso $m = 1$ tenemos dos direcciones en las que $h\rightarrow 0$ correspondientes a los límites izquierdo y derecho.

Si una función multivariable es diferenciable, entonces existen las derivadas parciales $\mathbf{J}$ es la matriz jacobiana. Sin embargo, si las derivadas parciales existen, el límite anterior puede seguir sin existir, y la función puede no ser diferenciable. Tu ejemplo ilustra este hecho. Sin embargo, en el caso de una función univariante, la derivada parcial y la derivada son lo mismo, porque se puede hablar de cambio en la dirección de una sola variable.

Answer 2

En $x=0$ La derivada de esta última función no existe. En dos dimensiones, la función es suave a lo largo de ciertas curvas (los ejes de coordenadas) que pasan por $0$ Por eso existen ciertas derivaciones direccionales (las que has escrito). Si giras el sistema de coordenadas por ejemplo, $45$ grado, entonces en el nuevo sistema de coordenadas la derivada parcial ordinaria no existirá en el origen.