Paseo aleatorio simétrico en $\mathbb {Z}^d$

Question

Consideremos el paseo aleatorio simétrico sobre $\mathbb{Z}^d $ . Simétrico significa que la probabilidad de entrar en cualquiera de los $2^d$ direcciones es $1/2^d$ . Partiendo de 0, ¿cuál es la probabilidad de volver a 0 en n pasos?

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Mi solución es

$$ p_{00}^{(n)}=\binom {n}{n/2}^d \frac{1}{2^{dn}}. $$

Porque para cada dimensión los pasos en una dirección tienen que ser los mismos que en la dirección opuesta y para cada dimensión hay un $\binom {n}{n/2}$ posibilidades de hacerlo.

¿Estoy en lo cierto?

Answer 1

No. Esta vez, hay $2d$ direcciones para elegir.

A partir de la fórmula de $d=2$ tendrá que cambiar el coeficiente binomial por $$ \frac {n!}{\left(a_1!\right)^2 \left(a_2!\right)^2\dots \left(a_{d}!\right)^2 }$$ para cada elección de $a_1\dots a_{d}$ para que $\sum_{i=1}^{d} a_i = n/2$ ( $a_i$ es el número de movimientos realizados en la dirección $+ e_i$ ) y la probabilidad sustituida en consecuencia por $$ \prod_{i=1}^{d} \left(\frac1{2d}\right)^{2a_i} $$

Entonces la respuesta global es $$ p_{d,n} = \sum_{\sum_{i=1}^{d} a_i=n/2} \frac {n!}{\left(a_1!\right)^2 \left(a_2!\right)^2\dots \left(a_{d}!\right)^2 } \prod_{i=1}^{d} \left(\frac1{2d}\right)^{2a_i} $$

Answer 2

Su fórmula funciona correctamente para $d=1$ (por supuesto) y también para $d=2$ . La forma de ver $d=2$ es que cada paso cambia $x+y$ por $\pm 1$ cada uno con probabilidad $\frac{1}{2}$ y además, cada paso cambia $x-y$ por $\pm 1$ cada uno con probabilidad $\frac{1}{2}$ y esos resultados son independientes. Así que es válido multiplicar las dos probabilidades individuales de terminar en el origen, que es lo que hace tu fórmula.

Lamentablemente, para $d >2$ (paseo aleatorio en más de 2 dimensiones), no hay ninguna razón inteligente similar para que su fórmula funcione. Y de hecho, para un paseo aleatorio de 2 pasos en 3 dimensiones, la probabilidad de terminar en el origen es $\frac{1}{6}$ mientras que su fórmula da una respuesta de $\frac{1}{8}$ .

(Siempre he querido utilizar la palabra "mientras" en una frase).