Prueba de que $S^1$ no es homeomorfo a $[0, 1]$

Question

Demostrar que $S^1$ no es homeomorfo a $[0, 1]$

Así que cuando traté de demostrar esto, traté de buscar propiedades topológicas que $S^1$ tenía pero $[0, 1]$ no lo hice porque tratar de demostrarlo por contradicción parecía mucho más difícil, y no estoy seguro de cómo podría demostrarlo directamente.

Las únicas propiedades topológicas que $S^1$ tiene que se me ocurra que $[0,1]$ no tiene es el hecho de que $S^1$ es una variedad topológica sin límites y $[0, 1]$ es una variedad topológica con límite, es decir, el conjunto $\{0, 1\}$ por lo que si suponemos que son homeomorfas llegaríamos a una contradicción ya que una variedad topológica con límite no puede ser homeomorfa a una variedad topológica sin límite.

Pero parece un poco exagerado utilizar la teoría de los colectores topológicos para demostrar este problema algo elemental. ¿Alguien conoce una prueba más elemental?

Answer 1

Tome cualquier $z\in S^1$ . Entonces $S^1\setminus\{z\}$ está conectada, mientras que esta propiedad no se cumple para $[0,1]$ a menos que eliminemos los puntos límite.

Answer 2

Ningún barrio de $0$ en $[0,1]$ es homeorfo a $\mathbb R$ . Sin embargo, cada punto de $S^1$ tiene alguna vecindad homeográfica a $\mathbb R$ .